Машиностроительное черчение Виды соединений деталей

Математика задачи на решение числовых рядов

Числовые рыды в действительной области (сокр. в )

Пусть  – числовая последовательность, для  . Тогда символ , обозначающий последовательное суммирование членов числовой последовательности , называется числовым рядом.

Проблематика:

1) существует ли конечное значение результата проводимой операции – последовательного суммирования всех членов последовательности?

2) если существует такое конечное значение, то чему оно равно, как найти его точно или приближенно?

Для ответа на поставленные вопросы вводятся следующие понятия.

Сумма первых  членов ряда  называется -й частичной суммой и обозначается ; последовательность   – последовательность частичных сумм.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Если существует : , т.е. сходится последовательность , то ряд  называется сходящимся, число  – его сумма. В противном случае ряд называется расходящимся, его последовательность частичных сумм  либо не имеет конечного предела, либо бесконечно большая.

ПРИМЕР 1. , как сумма всех членов убывающей геометрической прогрессии рассматриваемый ряд сходится.

ПРИМЕР 2. Для ряда  имеем  поэтому не существует конечного предела последовательности  и соответствующий ряд расходится.

ПРИМЕР 3. Для ряда  имеем  или ; ряд расходится.

Таким образом, поведение числового ряда определяется поведением соответствующей последовательности его частичных сумм. Поэтому результаты изучения числовых последовательностей могут быть перенесены на числовые ряды. Но при этом для ряда, как правило, сходимость ряда и значение его суммы приходится изучать раздельно.

КРИТЕРИЙ КОШИ (для последовательности):

, ( – сходится)(,

)

можно перефразировать, заменив .

Пример 4:

Рассмотрим  уравнение   интегрируя, получаем: x2 + y2 = C = R2 (рис.4)

– множество окружностей с центром в начале координат

рис.4

Определение: Общее решение – множество решений дифференциального уравнения есть совокупность функций F(x, y, C)=0, CÎÂ.

Определение: Частное решение получают при подстановке конкретного значения константы в общее решение

Особые решения не входят в общие решения  через каждую точку особого решения проходит более одной интегральной кривой.

Критерий Коши (для числового ряда)

Ряды с положительными слагаемыми Заметим сразу, что если ряд состоит только из отрицательных слагаемых, то можно перейти к ряду из соответствующих положительных слагаемых (свойство 4, ).

Теорема необходимое и достаточное условие сходимости знакоположительного ряда – через "ограниченность" частичных сумм ; .

Тоерема признак Д'Аламбера

Знакопеременные ряды Ряд, имеющий бесконечное множество как положительных, так и отрицательных членов, называется знакопеременным.

Определение абсолютной сходимости ряда

Типовые задачи

Задача . Если числовой ряд есть сумма всех членов убывающей геометрической прогрессии, то такой ряд сходится (абсолютно) и его сумма находится по формуле

Числовые ряды в комплексной области Всякому комплексному числу , где  и  – действительные числа, ставится в соответствие точка  на плоскости. Множество всех комплексных чисел  обозначается через  и соответствует точкам плоскости (говорим о комплексной плоскости). Различные формы записи комплексного числа и правил действий с комплексными числами рассмотрены ранее

Для комплекснозначных последовательностей изучаются свойства: сходимость и ограниченность, а также связь между ними.

Числовые рады в ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Пусть  – произвольная последовательность комплексных чисел . Тогда символ называют числовым рядом в комплексной области (в ).

Теорема достаточный признак сходимости ряда

Функциональные ряды Пусть  – последовательность функций , все члены которой определены на одном и том же множестве значений аргумента , . Пример решение задачи

Равномерная сходимость ряда

Теоремы о свойствах суммы равномерно сходящихся функциональных рядов Теорема о почленном интегрировании

Функциональные ряды в комплексной области


Вычисление длин дуг плоских кривых, заданных в декартовых координатах