Машиностроительное черчение сборочный чертеж

Математика задачи контрольной работы

 

Ряды и интеграл Фурье

Основные сведения

Функция f(x), определенная на всей числовой оси называется периодической, если существует такое число , что при любом значении х выполняется равенство . Число Т называется периодом функции.

Отметим некоторые с в о й с т в а этой функции:

1) Сумма, разность, произведение  и частное периодических функций периода Т есть периодическая функция периода Т.

2)  Если функция f(x) период Т , то функция f(ax) имеет период .

3)  Если f(x) - периодическая функция периода Т , то равны любые два интеграла от этой функции, взятые по промежуткам длины Т (при этом интеграл существует), т. е. при любых a и b справедливо равенство .

Тригонометрический ряд. Ряд Фурье

Если f(x) разлагается на отрезке  в равномерно сходящийся тригонометрический ряд: [an error occurred while processing this directive]

  (1)

,то это разложение единственное и коэффициенты определяются по формулам:

  , где n=1,2, . . .

Тригонометрический ряд (1) рассмотренного вида с коэффициентами называется тригонометрическим рядом Фурье, а  коэффициентами ряда Фурье.

Достаточные признаки разложимости функции в ряд Фурье [an error occurred while processing this directive]

Точка  разрыва функции   называют точкой разрыва первого рода, если существует конечные пределы справа и слева этой функции в данной точке.

ТЕОРЕМА 1 (Дирихле). Если  периодическая с периодом  функция непрерывна или имеет конечное число точек разрыва 1-ого рода на отрезке [] и этот отрезок можно разбить на конечное число частей, в каждом из которых f(x) монотонна, то ряд Фурье относительно функции сходится к f(x) в точках непрерывности и к среднеарифметическому односторонних пределов в точках разрыва рода (Функция удовлетворяющая этим условиям называется кусочно-монотонной).

ТЕОРЕМА 2. Если f(x) периодическая функция с периодом  , которая на отрезке [] вместе со своей производной непрерывна или имеет конечное число точек разрыва первого рода, то ряд Фурье функции f(x) в точках разрыва к среднему арифметическому односторонних пределов (Функция удовлетворяющая этой теореме называется кусочно-гладкой).

Пример:

Критерий Коши:

Определение равномерной сходимости функционального ряда на множестве E:

Критерий Коши:

.

Следствие. Если

Ряды Фурье для четных и нечетных функций

Ряд Фурье по любой ортогональной системе функций Последовательность функций  непрерывных на отрезке [a,b], называется ортогональной системой функции на отрезке [a,b], если все функции последовательности попарно ортогональны на этом отрезке, т. е. если   Система называется ортогональной и нормированной (ортонормированной) на отрезке [a,b],

Задача о колебании струны Пусть в состоянии равновесия натянута струна длинной l  с концами x=0 и x=l. Предположим, что струна выведена из состояния равновесия и совершает свободные колебания. Будем рассматривать малые колебания струны, происходящие в вертикальной плоскости.

Достаточные условия представимости функции в интеграл Фурье.

Разложение функций в тригонометрический ряд Фурье Найдем первые пять гармоник для найденного ряда Разложение четной функции в ряд

Комплексная форма ряда по косинусам

Представление функции интегралом Фурье Проверка условий представимости Представление функции полиномом Лежандра

Дискретное преобразование Фурье

Линейным дифференциальным уравнением называется уравнение вида: Пример Покажем, что если определитель равен нулю, то функции необязательно линейно зависимы.  

Фундаментальная система решений линейного однородного уравнения

Определение: Любые n линейно независимых решений линейного однородного дифференциального уравнения n-ного порядка называется фундаментальной системой решений этого уравнения.

Линейное однородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами

Решение неоднородного линейного дифференциального уравнения n-го порядка

Метод неопределенных коэффициентов для нахождения частного решения неоднородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами. Пример Рассмотрим случай, когда корни характеристического многочлена совпадают.


Вычисление площадей в декартовых координатах