Принимаем заказы на выполнение контрольных, курсовых, дипломных работ

Сервис для выполнения любых видов студенческих работ

Сервис для выполнения любых видов студенческих работ

 

Народная медицина

Соблазн возбуждающая  жвачка

Соблазн возбуждающая жвачка

 

KupiVip – крупнейший онлайн-магазин

Выполнение 
работ на заказ. Контрольные, курсовые и дипломные работы

Выполнение работ на заказ. Контрольные, курсовые и дипломные работы

Renoven - антиварикозный   бальзам

Renoven - антиварикозный бальзам

ШефМаркет. Доставка продуктов с рецептами

Уборка   квартир в Москве

Уборка квартир в Москве

Дизайнерская мебель

Заказ и доставка билетов

Заказ и доставка билетов

 Академия Моды и Стиля

Академия Моды и Стиля

 

Интернет-магазин Olympus

Интернет-магазин Olympus<

Машиностроительное черчение Виды соединений деталей

Математика задачи на решение числовых рядов

Степенные ряды Поточечная сходимость

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Степенным рядом называется функциональный ряд вида

.  (1)

Здесь  – числовая последовательность,  – фиксированное число (точка). Ряд (1) называется смещенным. Удобнее рассматривать несмещенный степенной ряд

,  (2)

а результаты перенести на смещенный степенной ряд заменой  на .

Структура множества точек поточечной сходимости степенного ряда (2) определяется следующей теоремой. [an error occurred while processing this directive]

ТЕОРЕМА  АБЕЛЯ

Если : ряд  сходится, то  ряд  сходится (абсолютно).

Если : ряд  расходится, то  ряд  расходится.

Доказательство. Поскольку ряд  сходится, то по необходимому условию . Сходящаяся последовательность всегда ограничена, т.е. .

Пусть  – фиксированное и . Тогда , т.е. члены ряда  меньше () соответствующих членов ряда , который сходится как геометрическая прогрессия со знаменателем .

Итак, на  исходный ряд сходится (абсолютно).

Пусть ряд  расходится. Возьмем произвольное фиксированное . Предположим, что ряд  сходится, тогда по доказанному выше в каждой точке  ряд  сходится, т.е., в частности, ряд  сходится, а это противоречит предположению о его расходимости. Требуемое утверждение обосновано.

Замечание. Для множества  – точек сходимости ряда (2) (в рассматриваемом случае) , для множества   – точек расходимости ряда (2) . Поскольку в каждой точке числовой оси ряд (2) сходится или расходится, то  – число (радиус сходимости) такое, что   ряд  сходится, а для  ряд  расходится. Интервал  – интервал сходимости ряда (2). Поведение ряда при  и при  требует дополнительного исследования.

Итак, область сходимости несмещенного степенного ряда  есть интервал сходимости  с возможно присоединенными "концами"; для смещенного степенного ряда  область сходимости есть интервал  с возможно присоединенными концами  или .

Для нахождения  – радиуса сходимости можно использовать следующие рассуждения.

(*) В степенном ряде НЕТ нулевых слагаемых, т.е. степени переменной расположены подряд, без пропусков. Степенной ряд имеет вид . В этом случае рассмотрим ряд из абсолютных величин, зафиксируем значение  и применим признак Д'Аламбера (или признак Коши). Получим

  (требуем) ; аналогично .

Пример . Найдем область сходимости степенного ряда , используя известную структуру его области сходимости. Равномерная сходимость

Разложение функций в степенные ряды Пример Пусть Рассмотрим ряд , можно вычислить радиус сходимости , т.е. на  . После почленного дифференцирования получим , т.е. функция  – решение задачи Коши ДУ  или . Уметь находить промежуток сходимости степенного ряда

Понятие числового ряда Свойства сходящихся рядов

Числовые ряды с неотрицательными членами. Достаточные признаки сходимости Одним из признаков существования предела является следующее утверждение: если последовательность монотонна и ограничена, то она имеет предел.
Лемма. Если члены ряда неотрицательны, то он сходится тогда и только тогда, когда последовательность его частичных сумм ограничена сверху.

Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость. Ряд называется знакопеременным, если его членами являются действительные числа произвольного знака. Рассмотрим знакопеременный ряд

Функциональные ряды

Степенные ряды Разложение функций в степенные ряды.

Задача. Найти сумму ряда. Исследовать на сходимость ряд

Вычислить сумму ряда с точностью . Найти область сходимости ряда

Задача . Представление степенными рядами первообразных "неберущихся" интегралов, т.е. тех интегралов, первообразные которых не выражаются через элементарные функции.

Элементарные функции комплексной переменной (сокр. ФКП) К элементарным ФКП относятся следующие функции: степенная, показательная, тригонометрические, гиперболические; функции, обратные к указанным. Функции, получающиеся из перечисленных в результате суперпозиций, арифметических действий, действий возведения в степень и извлечения корня ""-й степени, обычно тоже называются элементарными Рациональные ФКП Вычислить приближенно . Гиперболические ФКП. Формулы ЭЙЛЕРА Вычислить .

Тригонометрические ряды терменология. Постановка задачи

Разложение функций в степенные ряды Тейлора имеют недостатки: суммой сходящихся степенных рядов могут быть лишь функции, дифференцируемые в точке бесконечное множество раз; частичные суммы степенного ряда приближают функцию только в некоторой окрестности точки разложения и т.д. Вместе с тем как в самой математике, так и в ее приложениях приходится исследовать функции, заданные на промежутках и имеющие там "изломы" и "скачки", т.е. не только недифференцируемые в некоторых точках, но даже и не являющиеся непрерывными на промежутках. Для таких функций может оказаться эффективным представление их тригонометрическими рядами.Периодические функции

Гармоники Простейшими периодическими функциями являются простые гармоники (или просто гармоники) – функции вида Условия разложения функции в тригонометрический ряд Фурье

Из сходимости тригонометрического ряда (4) имеем  или . Интуитивно ясно, что равенство возможно лишь при одновременном стремлении нулю последовательностей  и  при .

Достаточные условия сходимости тригонометрического ряда Фурье Характер и скорость сходимости ТРФ функции определяется не только непрерывностью функции, но главным образом ее гладкостью на промежутке периодичности. Тригонометрические рыды Фурье для четных и нечетных функций Разложение непериодической функции в тригонометрический ряд Фурье

Пример. Разложить функцию ,  в ТРФ, доопределив ее четным образом на . Комплексная форма тригонометрического ряда Фурье Рассмотрим –периодическую функцию , ( – время), удовлетворяющую условиям разложимости в ТРФ Обозначим . Пример. Разложить  – периодическую функцию , заданную на  соотношением  в ТРФ в комплексной форме.


Вычисление длин дуг плоских кривых, заданных в декартовых координатах