Машиностроительное черчение Виды соединений деталей

Математика функции комплексной переменной

Понятие функции комплексной переменной. Простейшие свойства определение ФКП

Если каждому значению комплексной переменной    из множества  расширенной комплексной
 – плоскости по правилу  соответствует комплексное число   из множества  расширенной комплексной – плоскости, то   есть комплексная (или комплекснозначная) функция комплексной переменной (сокр. ФКП);
 – область определения,  – множество значений ФКП  .

Если каждому значению  соответствует единственное значение , то ФКП   называется однозначной,
в остальных случаях ФКП называется многозначной.

К элементарным ФКП относятся следующие функции: степенная, показательная, тригонометрическая, гиперболические; функции,
обратные к указанным. Функции, получающиеся из перечисленных в результате суперпозиций, арифметических действий, действий
возведения в целую степень и извлечения корня ""–й степени, обычно тоже называют элементарными.

Для многозначной ФКП можно выделять однозначные ветви функции, например, для ФКП  при каждом конкретном значении .

Область определения ФКП может быть различной структуры.

Задание ФКП  на множестве  эквивалентно одновременному заданию двух действительнозначных функций двух
действительных переменных:

, (1)

где , , , .

Заметим, что вместо символа  часто используется символ .
В нашем тексте эти символы не различаются.

ФКП ,  не имеет графика. Геометрическую иллюстрацию задания ФКП обычно связывают со свойствами отображения точки  в точку  по правилу ;  – образ точки ,  – прообраз точки .

Если точка  описывает кривую  в – плоскости и точка ,  описывает кривую , то  есть образ  при отображении .

Установлено [1], что для простейших однозначных ФКП образ границы области есть граница образа области, при этом для образа области сохраняется ориентация его границы. Поэтому для нахождения образа области   при отображении   определяем в
 – плоскости сначала образ границы области , а затем устанавливаем образ самой области .

Задание

1. Выделить  и , если ; найти образ точки  при этом отображении.

Ответ: , , .

2. Найти образ прямой   при отображении .

Ответ: ,  – мнимая полуось.

3. Найти образ круга   при отображении   .

Ответ: .

4. Показать, что при отображении  область  переходит в полуплоскость .

16.2. ПРЕДЕЛ ФКП В ТОЧКЕ

Понятия предела ФКП в точке и непрерывности в точке
(на множестве) определяются аналогично соответствующим понятиям для действительнозначной функции действительного аргумента.

Пусть ФКП  определена и однозначна в окрестности точки   за исключением, быть может, самой точки .

Число  называется пределом ФКП  в точке , , если для всякой –окрестности числа  в
– плоскости –   существует такая –окрестность числа  – , что для каждого числа   из  образ  принадлежит , т.е.

.

Это определение имеет место для  и  как конечных, так и бесконечных. Для конкретного использования определения нужно расшифровать  и  (см. [18]).

Пример. Показать по определению . Для функции предыдущего примера построить ее частотные спектры

ФКП называется непрерывной на множестве, если она непрерывна в каждой точке этого множества. В силу теоремы, сформулированной в п. 1.2, ФКП   непрерывна в точке (на множестве) тогда и только тогда, когда каждая из функций  и  непрерывна в точке (на множестве) как действительная функция двух действительных переменных. Поэтому же для ФКП справедливы теоремы о непрерывности суммы, произведения и отношения непрерывных функций, а также теорема о непрерывности сложной функции непрерывных функций.

Пример. Построить область, ограниченную линиями: ; ;

Дифференцирование ФКП Определение производной ФКП Условия дифференцируемости ФКП С понятием производной ФКП в точке связано понятие дифференцируемости ФКП в точке (на множестве).

Пример. Показать, что ФКП  всюду дифференцируема; вычислить производную ФКП.

Аналитичность ФКП Из множества дифференцируемых ФКП выделяются аналитические ФКП (сокр. АФКП); свойства аналитических ФКП изучает теория аналитических функций комплексной переменной. Однозначная ФКП   называется аналитической (иначе регулярной) в области , если она дифференцируема в каждой точке этой области.

Восстановление аналитической ФКП по известной ее действительной компаненте

Интеграл ФКП определение и свойства интеграла ФКП Пример. Вычислить интеграл , где  – отрезок, соединяющий точки   и .

Интегрирование аналитической ФКП. Теорема Коши Одним из важнейших свойств аналитической в области ФКП является независимость интеграла этой функции от дуги (от пути интегрирования).

Пример. Вычислить интеграл ,  – целое.

Интегральная формула Коши Пусть ФКП  – аналитическая в односвязной области , произвольный контур   "погружен" в ,  – произвольная точка внутри . Тогда в этой точке  значение ФКП  определяется через значения  на контуре  по интегральной формуле

Классификация особых точек ФКП Разложение ФКП в ряд Тейлора Пример. Разложить в ряд ФКП  по степеням .

Разложение ФКП в ряд Лорана Пусть однозначная ФКП  является аналитической функцией внутри кольца  между окружностями  и   с центром ; пусть   – произвольная точка этого кольца.

Пример. Убедиться, что для ФКП  ряд Лорана по степеням   состоит из конечного числа слагаемых.

Пример. Указать все области, в которых возможно разложение функции  в ряды Лорана по степеням . Найти эти разложения.

Классификация изолированных особых точек ФКП Пример. Показать, что функция  имеет УОТ .

Пример Показать, что для ФКП  точка  – полюс второго порядка, точка  – полюс первого порядка.

Интегрирование ФКП с помощью вычетов Вычет ФКП в особой точке, его вычичление Понятие вычета является одним из основных понятий в теории ФКП и ее приложениях. Пример. Вычислить вычеты ФКП

Основная теорема о вычетах Пусть ФКП  аналитическая на границе  области  и внутри этой области за исключением конечного множества изолированных особых точек . Построим около каждой особой точки  контур  так, чтобы внутри  была только одна особая точка ; контуры не пересекались; все контуры   были расположены внутри , ориентация всех контуров совпадает Пример Для  убедиться в выполнении равенства Вычислить .

Интегрирование функции действительной переменной методами теории ФКП


Вычисление длин дуг плоских кривых, заданных в декартовых координатах