Машиностроительное черчение сборочный чертеж

Математика задачи операционное исчисление

Интеграл Фурье. Преобрацование Фурье

ПРЕДСТАВЛЕНИЕ НЕПЕРИОДИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ ИНТЕГРАЛОМ ФУРЬЕ

Пусть функция  определена на , –периодическая, абсолютно интегрируемая на . Тогда (см. [18]) она может быть представлена тригонометрическим рядом Фурье (сокращенно ТРФ) в комплексной форме

, (1)

где 

или в действительной форме

,  (2)

где ;

.

Равенства (1) и (2) понимаются в смысле поточечной сходимости ТРФ к ; через  и , как обычно обозначены соответственно правосторонний и левосторонний пределы функции  в точке .

Напомним, что свойство абсолютной интегрируемости –периодической функции   на  определяет существование ТРФ, но не гарантирует сходимости ТРФ к . Требуются дополнительные условия, достаточные для сходимости ТРФ к "породившей" его функции: например, условия Дирихле или требование кусочной гладкости  на .

Для непериодической функции , , существуют формулы, аналогичные формулам (1) и (2), представляющие непериодическую функцию  через несобственные интегралы специального вида. Проведем рассуждения (без строгого обоснования), приводящие к одной из таких формул.

Будем рассматривать непериодическую функцию , , удовлетворяющую условиям:

1)   – абсолютно интегрируема на , т.е.

;  (3)

2) для всякого   удовлетворяет на  условиям, достаточным для разложения в ТРФ –периодической функции, совпадающей на  с .

Обозначим через  –периодическую функцию, совпадающую на  с  ( – произвольное положительное число). Для  имеет место равенство (1).

При  периодическая функция   переходит в непериодическую функцию . Поэтому целесообразно провести предельный переход в формулах (1) от промежутка  к промежутку , считая, что при  равенство (1) сохраняется. Подставляя значение   в ТРФ, получим для

 

или

, (4)

поскольку выражение  не зависит от  и может быть внесено поэтому под знак интеграла, через  обозначено "приращение" частоты , а именно .

Интегралы в слагаемых правой части (4) будем считать значениями интеграла

соответственно при . Можно ожидать, что при  равенство (4) перейдет в приближенное равенство

,

в котором слагаемые ряда похожи на слагаемые интегральной суммы функции , а сумму ряда можно вроде бы рассматривать как интегральную сумму функции  на . Так как при  , то естественно считать

,

причем знак приближенного равенства заменится знаком точного равенства.

Итак, при  равенство (1) при  перейдет в равенство

 , (5)

которое называется интегральной формулой Фурье функции , а ее правая часть – интегралом Фурье (сокращенно ИФ) функции .

Приведенные рассуждения можно завершить формулировкой теоремы.

Теорема Фурье Пусть функция  1) абсолютно интегрируема на ; 2) кусочно-гладкая на   при любом . Тогда имеет место интегральная формула Фурье. Заметим, что проведенный предельный переход от ТРФ к ИФ требует специального обоснования. Нельзя переходить к пределу при  непосредственно в ряде, так как обычная интегральная сумма рассматривается на промежутке конечной длины, причем подынтегральная функция не меняется с уменьшением длин отрезков разбиения. Спектральные характеристики функции Различные записи интеграла Фурье Проиллюстрировать теорему о свертке оригиналов для функций примера

Дельта -функция, ее свойства Пример. Найти изображения функций: а) ; б) ; в) ; г) ; д) ; е) .

Вычисления несобственного интеграла вида Вычислить . Лемма Жордана

Вычисления несобственного интеграла вида Вычислить .

Вычисление интегралов вида

 

Задача . Фокусы эллипса совпадают с фокусами гиперболы

 Задача . Дано уравнение кривой второго порядка . Выполнив поворот и параллельный перенос координатных осей, получить каноническое уравнение кривой и построить ее в исходной системе координат.

Выполнение третьего задания предполагает знание уравнений прямой на плоскости и в пространстве и уравнений плоскости.

Решим типовую задачу. Задача . Провести плоскость через перпендикуляры из точки   к плоскостям  и . Найти расстояние от основа­ния первого перпендикуляра до второй плоскости.

Четвертое задание предлагает изобразить тело, ограниченное заданными поверхностями второго порядка и плоскостями.

 Решим конкретную задачу. Задача. Нарисовать тело, ограниченное указанными поверхностями. Указать тип поверхностей, ограничивающих данное тело: .

Задача . Решить систему

Рассмотрим теперь задачи шестого типа, где предлагается привести к каноническому виду уравнение поверхности второго порядка с помощью теории квадратичных форм. Рассмотрим общее уравнение поверхности второго порядка

Привести к каноническому виду уравнение поверхности второго порядка  с помощью теории квадратичных форм. Сделать рисунок.

 


Вычисление площадей в декартовых координатах