Принимаем заказы на выполнение контрольных, курсовых, дипломных работ

Сервис для выполнения любых видов студенческих работ

Сервис для выполнения любых видов студенческих работ

 

Народная медицина

Соблазн возбуждающая  жвачка

Соблазн возбуждающая жвачка

 

KupiVip – крупнейший онлайн-магазин

Выполнение 
работ на заказ. Контрольные, курсовые и дипломные работы

Выполнение работ на заказ. Контрольные, курсовые и дипломные работы

Renoven - антиварикозный   бальзам

Renoven - антиварикозный бальзам

ШефМаркет. Доставка продуктов с рецептами

Уборка   квартир в Москве

Уборка квартир в Москве

Дизайнерская мебель

Заказ и доставка билетов

Заказ и доставка билетов

 Академия Моды и Стиля

Академия Моды и Стиля

 

Интернет-магазин Olympus

Интернет-магазин Olympus<

Начертательная геометрия Курс лекций Тер. механика Решение задач по начертательной геометрии Инженерная графика Математика лекции и примеры решения задач Тройные и двойные интегралы Примеры курсового расчета

СПОСОБЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ КОМПЛЕКСНОГО ЧЕРТЕЖА

 

3.1. Общие положения
3.2. Способ замены плоскостей проекций
3.3. Способ вращения

ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ

Во многих случаях трудоемкость решения задачи зависит не столько от сложности ее условия, сколько от положения заданных геометрических фигур относительно плоскостей проекций. Во всех случаях, когда заданные геометрические фигуры являются проецирующими, решение задачи, как правило, упрощается, Такое положение геометрических фигур относительно плоскостей проекций, при котором мы непосредственно по чертежу получаем ответ на поставленный в задаче вопрос, называется наивыгоднейшим. Например, по рис. 3.1, б можно сразу определить расстояние между параллельными прямыми а и б, а по рис. 3.1, а, этого сделать нельзя.
prk3_3.JPGРис. 3.1 Построение сопряжения двух дуг

Таким образом, при решении той или иной задачи бывает целесообразно преобразовать чертеж так, чтобы заданные геометрические фигуры оказались бы в наивыгоднейшем положении относительно плоскостей проекций. Для этого существуют различные способы преобразования комплексного чертежа. Каждый из них основан на одном из следующих принципов:
1) на изменении положения плоскостей проекций относительно неподвижных геометрических фигур; 2) на изменении положения заданных геометрических фигур относительно неподвижных плоскостей проекций; 3) на изменении направления проецирования, т. е. на замене ортогонального проецирования косоугольным или центральным на одну из старых плоскостей проекций или на какую-нибудь новую. Рассмотрим некоторые из них.

 

1. СПОСОБ ЗАМЕНЫ ПЛОСКОСТЕЙ ПРОЕКЦИЙ

Сущность способа состоит в том, что одну из заданных плоскостей проекций (П1 или П2) заменяют новой плоскостью П4. При этом положение второй плоскости проекций и заданных геометрических фигур остается неизменным. Новая плоскость проекций П4 выбирается с таким расчетом, чтобы она занимала частное положение по отношению к рассматриваемой геометрической фигуре и была при этом перпендикулярной к незаменяемой плоскости проекций. Таким образом, исходная (старая) система плоскостей проекций П21 может быть преобразована в новую систему П2/ П4 при замене плоскости П1 плоскостью П4П2 или в систему П41 при замене плоскости П2 плоскостью П4П1. Каждая из этих полученных систем может быть преобразована в новую путем замены плоскости проекций, не заменявшейся в предыдущем преобразовании. Таким образом, система П2/ П4 может быть преобразована в систему П54 при замене плоскости П2 плоскостью П5П4, а система П41 - в систему П45 - при замене плоскости П1 плоскостью
П5П4 и т. д.
Такое последовательное преобразование исходной системы плоскостей проекций позволяет получить новую систему, в которой рассматриваемые геометрические фигуры окажутся в наивыгоднейшем положении относительно плоскостей проекций. Большинство задач решается с применением одного или двух последовательных преобразований исходной системы плоскостей проекций. Одновременно можно заменять только одну плоскость проекций П1 (или П2), другая плоскость П2 (или П1) должна оставаться неизменной.
Все свойства геометрических фигур и их изображений, ранее рассмотренные в исходной П21 системе, справедливы и для новой системы плоскостей проекций.
Каждая новая плоскость проекций П4, П5, ... условно называется так же, как та из основных, которую она заменяет. Так, например, плоскость П4, заменяющая горизонтальную плоскость П1, условно называется также "горизонтальной", хотя она не занимает горизонтального положения в пространстве.
Рассмотрим инварианты преобразования, позволяющие по чертежу объекта, выполненному в старой системе, построить чертеж в новой системе плоскостей проекций.

Замена фронтальной плоскости проекций
(преобразование системы П21 в систему П41)

Исходная (старая) система плоскостей проекций П21, точка А пространства, ее ортогональные, проекции А1 и А2, изображены на рис. 3.2.
prk3_1.JPGРис. 3.2

Заменим фронтальную плоскость проекций П2, новой плоскостью П4 (которую условно будем называть тоже фронтальной), перпендикулярной к П1, и образующей с плоскостью П2 некоторый угол (в случае проецирования точки этот угол произволен). В результате получим новую систему плоскостей проекций П41. Плоскость П1 является общей для старой и новой систем плоскостей проекций.
В новой системе П41 имеем: X14 = П1 П4 - новая ось проекций, А1 и А4 - ортогональные проекции точки А.
При переходе от старой системы П21 к новой П41 остаются неизменными (являются инвариантами преобразования): 1) плоскость П1 и точка А; 2) горизонтальная проекция А1, точки А; 3) расстояние точки А до плоскости П1, т. е. | AA1 | = | A2A12 | = | A4A14 |.
На динамическом рисунке 3.3 показан механизм рассмотренного проекционного преобразования.
prk3_1.JPG Рис. 3.3 (анимационный)

Выявленные инварианты преобразования позволяют построить по комплексному чертежу точки в старой системе плоскостей проекций ее комплексный чертеж в повой системе. Для этого на комплексном чертеже точки А (А12) проводим новую ось проекций х14 (рис. 3.2), положение которой определяется положением новой фронтальной плоскости проекций П4. Из точки А1 проводим линию связи, перпендикулярную новой оси проекций х14. На линии связи от точки А14 откладываем отрезок
| А14А4 | = | А12А2 |. Полученная таким образом точка А4 является проекцией точки А на плоскость П4. В новой системе плоскостей проекций П41 положение точки А определяется проекциями А1 и А4.

Замена горизонтальной плоскости проекций
(преобразование системы П21 в систему П24)

Исходная (старая) система плоскостей проекций П21, точка А пространства, ее ортогональные, проекции А1 и А2, изображены на рис. 3.4.
prk3_2.JPGРис. 3.4

Заменим горизонтальную плоскость проекций П1, новой плоскостью П4 (которую условно будем называть тоже горизонтальной), перпендикулярной к П2, и образующей с плоскостью П1 некоторый угол (в случае проецирования точки величина угла произвольна). В результате получим новую систему плоскостей проекций
П24. Плоскость П2, является общей для старой и новой систем плоскостей проекций. В новой системе П24 имеем: X24 = П2 П4 - новая ось проекций, А2 и А4 - ортогональные проекции точки А.
При переходе от старой системы П21 к новой П24 остаются неизменными (являются инвариантами преобразования): 1) плоскость П2 и точка А; 2) фронтальная проекция А2, точки А; 3) расстояние точки А до плоскости П2, т. е. | AA2 | = | A1A12 | = | A4A24 |.
Динамический рисунок 3.5 демонстрирует механизм рассмотренного проекционного преобразования.
prk3_2.JPG Рис. 3.5 (анимационный)

Выявленные инварианты преобразования позволяют построить по комплексному чертежу точки в старой системе плоскостей проекций ее комплексный чертеж в повой системе. Для этого на комплексном чертеже точки А (А12) проводим новую ось проекций х24 (рис. 3.4), положение которой определяется положением новой горизонтальной плоскости проекций П4. Из точки А2 проводим линию связи, перпендикулярную новой оси проекций х24. На линии связи от точки А24 откладываем отрезок | А24А4 | = | А12А1 |. Полученная точка А4 является проекцией точки А на плоскость П4. В новой системе плоскостей проекций П24 положение точки А определяется проекциями А2 и А4.
При необходимости выполнить две последовательные замены плоскостей проекций преобразование выполняется так, как показано на рис. 3.6. Подумайте и выполните преобразование комплексного чертежа точки А в системе П21 в комплексный чертеж в системе П24, а затем в системе П45.
prk3_4.JPGРис. 3.6

При решении задач с применением способа замены плоскостей проекций удобнее исходный комплексный чертеж задавать в осной системе изображения. Если же исходный чертеж выполнен в безосной системе, то можно зафиксировать плоскости проекций П1 и П2 в каком-либо удобном положении. Эта пространственная операция отражается на комплексном чертеже проведением оси проекций между горизонтальной и фронтальной проекциями объекта.

Основные задачи, решаемые способом замены плоскостей проекций

Задача 1. Преобразовать прямую общего положения (рис. 3.7) в линию уровня (горизонталь или фронталь).
prk3_5.JPGРис. 3.7

Решение. Для решения задачи необходимо заменить плоскость проекций П1, или П2 новой плоскостью проекций П4, параллельной прямой l и перпендикулярной к незаменяемой плоскости проекций. Для того чтобы прямая l в новой системе плоскостей проекций стала, например, фронталью, заменяем фронтальную плоскость проекций П2 новой плоскостью П4 П1 и параллельной прямой l. Динамика данного проекционного преобразования показана на рис. 3.8.
prk3_5.JPG Рис. 3.8 (анимационный)

Построение на комплексном чертеже (рис. 3.7).
1) проводим новую ось проекций х14 параллельно l1 на произвольном расстоянии от нее; такое положение оси х14 обусловливается тем, что П4 параллельна l. В частном случае, если плоскость П4 проведена непосредственно через прямую l,
ось х14 = l1;
2) выберем на прямой l две точки А(А1А2) и В(В1В2);
3) построим проекции точек А и В на плоскости П4;
4) прямая l44, В4) является проекцией прямой l на плоскость П4. Прямая l(A,B) в новой системе плоскостей проекций П14 является фронталью.
Примечания:
1. Отрезок [АВ] прямой l проецируется на плоскость П4 в истинную величину, т.е. | А4В4 | = | АB | 2. - величина угла наклона прямой l к плоскости П1.

Подумайте и решите задачу 1 в безосной системе изображения.
Преобразуйте прямую l так, чтобы она стала в новой системе плоскостей проекций горизонталью.
3адача 2. Преобразовать линию уровня в проецирующую прямую. Решение. Допустим, что заданная линия уровня (рис. 3.9) является горизонталью h(h1,h2).
prk3_6.JPGРис. 3.9

Для решения задачи заменяем плоскость П2 исходной системы П21 плоскостью П4h, при этом плоскость П4 будет перпендикулярна П1
так как h П1 и образует с ней новую систему плоскостей проекций П14.
Построения на комплексном чертеже: 1) проводим новую ось проекций х14 1; такое положение оси обусловливается тем, что П4 h; 2) выберем на прямой h две точки А(А12) и В(В12); 3) построим проекции точек А и В на плоскости П4; так как расстояния точек А и В до плоскости П1 одинаковы, то проекции их на плоскости П4 совпадут, т. е. h4 = А4 = В4. Прямая h(h1,h4) в новой системе плоскостей проекций является фронтально проецирующей.

Задайте самостоятельно комплексный чертеж фронтали f и преобразуйте ее в проецирующую прямую.
Подумайте и решите задачу 2 в безосной системе изображений.

Прямую общего положения преобразовать в проецирующую заменой только одной плоскости проекций нельзя, так как плоскость П4 перпендикулярная прямой, не будет перпендикулярна ни одной из старых плоскостей проекций, и, следовательно, не образует ни с одной из них прямоугольной системы плоскостей проекций.
prk3_7.JPGРис. 3.10

Для того чтобы прямую общего положения преобразовать в проецирующую, необходимо выполнить две последовательные замены плоскостей проекций. Вначале прямую следует преобразовать в линию уровня, а затем линию уровня преобразовать в проецирующую. На рис. 3.10 показано преобразование прямой l общего положения в горизонтально проецирующую.
Прямую l общего положения преобразуйте во фронтально проецирующую (чертеж задайте самостоятельно).
3адача 3. Преобразовать плоскость общего положения в проецирующую (рис. 3.11) Решение. Для решения задачи необходимо заменить плоскость П1 или П2 исходной системы П21 новой плоскостью П4, перпендикулярной плоскости (АВС). Две плоскости взаимно перпендикулярны, если одна из них проходит через прямую, перпендикулярную к другой плоскости. Следовательно, если какую-либо прямую, принадлежащую плоскости , преобразовать в проецирующую, то плоскость в новой системе плоскостей проекций станет проецирующей. Проще всего для этой цели воспользоваться линией уровня (см. задачу 2).
prk3_8.JPGРис. 3.11

На чертеже плоскость (АВС) преобразована во фронтально проецирующую (см. рис. 3.11) путем преобразования горизонтали h(h1,h2), принадлежащей плоскости , во фронтально проецирующую прямую (см, задачу 2). Все построения, выполненные на комплексном чертеже, cделаны на основе материала данного параграфа. В новой системе плоскостей проекций П14 плоскость является фронтально проецирующей ( 4), и поэтому ее проекция на П4 вырождается в прямую линию 44, А4, В4).
- величина угла наклона плоскости к плоскости П1.
Преобразуйте плоскость общего положения Г в горизонтально проецирующую (исходный чертеж задайте самостоятельно).
3адача 4. Преобразовать проецирующую плоскость Г в плоскость уровня.
Решение. Допустим, что заданная плоскость Г является фронтально проецирующей (рис. 3.12). Заменим плоскость П1 новой плоскостью проекций П4, параллельной плоскости Г(АВС) и, следовательно, перпендикулярной незаменяемой плоскости П2. В новой системе плоскостей проекций П24 плоскость Г(АВС) станет горизонтальной плоскостью уровня.
prk3_9.JPGРис. 3.12

Построения на комплексном чертеже: 1) проводим новую ось проекций х24 параллельно А2С2 на произвольном от нее расстоянии; такое положение оси проекций х24 обусловливается тем, что П4 параллельна Г(АВС). Ось х24 совпадает с прямой
2С2), если плоскость П4 совмещается с плоскостью Г(АВС); 2) построим проекции точек А, В и С на плоскость П4; 3) треугольник А4В4С4 является проекцией треугольника АВС на плоскость П4.
Примечание.
Так как плоскость треугольника АВС параллельна плоскости П4, то А4В4С4 АВС.
Преобразуйте горизонтально проецирующую плоскость во фронтальную плоскость уровня (исходный чертеж задайте самостоятельно).
Примечание.
Плоскость общего положения преобразовать в плоскость уровня заменой только одной плоскости проекций нельзя, так как плоскость П4, параллельная ей, не будет перпендикулярна ни одной из старых плоскостей проекций и, следовательно, не образует ни с одной из них прямоугольной системы плоскостей проекций.
Для того чтобы плоскость общего положения преобразовать в плоскость уровня, необходимо выполнить две последовательные замены плоскостей проекций.
prk3_10.JPGРис. 3.13

Вначале плоскость необходимо преобразовать в проецирующую, а затем проецирующую плоскость преобразовать в плоскость уровня. На рис. 3.13 показано преобразование плоскости (АВС) в горизонтальную плоскость уровня.
Преобразуйте плоскость общего положения во фронтальную плоскость уровня (исходный чертеж задайте самостоятельно).

 

Инженерная графика Курс лекций. Черчение, чертежи