МЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ

 

5.1. Общие положения
5.2. Задачи на определение расстояний между геометрическими фигурами
5.3. Задачи на определение действительных величин плоских геометрических фигур и углов между ними
5.4. Задачи на построение в плоскости общего положения геометрических фигур по заданным размерам


5.1. ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ

Метрическими называются задачи, связанные с измерением расстояний и углов. В них определяются действительные величины и форма геометрических фигур, расстояния между ними и другие характеристики по их метрически искаженным проекциям. Решение метрических задач основано на том, что геометрическая фигура, принадлежащая плоскости, параллельной плоскости проекций, проецируется на нее в конгруэнтную ей фигуру (см. аксиомы параллельного проецирования).
Поэтому при решении метрических задач широко используются способы преобразования комплексного чертежа, а также теоретические положения, изложенные в теме "Взаимно перпендикулярные прямые и плоскости". Построение внешней касательной к двум окружностям Способы преобразования ортогональных проекций Начертательная геометрия
В данной главе рассматриваются три группы метрических задач. К первой относятся задачи, в которых требуется найти расстояние между двумя геометрическими фигурами; ко второй - задачи на определение действительных величин плоских фигур и углов; к третьей группе принадлежат задачи, связанные с построением в плоскости общего положения геометрических фигур по заданным размерам.

 

5.2. ЗАДАЧИ НА ОПРЕДЕЛЕНИЕ РАССТОЯНИЙ
МЕЖДУ ГЕОМЕТРИЧЕСКИМИ ФИГУРАМИ

Искомое расстояние во всех задачах этой группы измеряется длиной отрезка, заключенного между заданными геометрическими фигурами и перпендикулярного к одной из них (задачи 1 и 4) или одновременно к обеим (задачи 2, 3 и 5). Этот отрезок проецируется в конгруэнтный ему отрезок на плоскость проекций, которая будет перпендикулярна одной (задачи 1, 3 и 4) или обеим (задачи 2 и 5) геометрическим фигурам, между которыми определяется расстояние. Отсюда вытекает общая схема решения задач этой группы:
1. Одним из способов преобразования комплексного чертежа привести обе заданные геометрические фигуры (или одну из них) в положение, перпендикулярное какой-либо плоскости проекций.
2. Построить проекцию искомого отрезка на эту плоскость.
На основании этой схемы составляется алгоритм решения каждой конкретной задачи этой группы.
Выбирая способ преобразования комплексного чертежа при составлении алгоритма, следует исходить из требований компактности чертежа, четкости и простоты графических операций.

Примеры.
Задача 1 .
Определение расстояния от точки М до прямой 1 общего положения (рис. 5.1).
pr5_1.JPGРис.5.1

Искомое расстояние измеряется длиной отрезка /МN/ перпендикуляра, опущенного из точки М на прямую l. Отрезок [МN] спроецируется в конгруэнтный ему отрезок на плоскость проекций, перпендикулярную прямой l. Пользуясь схемой, составляем алгоритм решения:
1. Преобразовать прямую l в проецирующую прямую способом замены плоскостей проекций.
2. Построить проекцию отрезка [МN] на плоскость П5 l, длина которого определяет искомое расстояние.
Построение. Для преобразования прямой l общего положения в проецирующую выполнены две последовательные замены плоскостей проекций: вначале прямая l преобразована в линию уровня, затем линия уровня преобразована в проецирующую прямую. Построены проекций М4 и М5 точки М в системе
П45. Отрезок [М5N5] является искомым: [М5N5] [МN] и /М5N5/ = /МN/.
На рис. 5.1 показано построение проекций [М4N4], [М1N1] и [М2М2] отрезка [МN] обратным преобразованием.
Задача 2. Определение расстояния между параллельными прямыми.
Задача 3. Определение расстояния между скрещивающимися прямыми.
Задача 4. Определение расстояния от точки до плоскости.
Задача 5 . Определение расстояния между параллельными плоскостями.
Указания к решению: в задаче 2 заданные прямые необходимо преобразовать в проецирующие; в задаче 3 одну из заданных прямых нужно преобразовать в проецирующую; в задаче 4 заданную плоскость необходимо преобразовать в проецирующую; в задаче 5 заданные плоскости нужно преобразовать в проецирующие.
Примечания: 1. Решение задач 2, 3, 4, 5 приведено в работе [1]. Решите их самостоятельно. 2. Задачи 1- 5 можно также решать по следующей схеме: вначале определить метрически искаженные проекции искомого отрезка, пользуясь теоретическими положениями темы "Взаимно перпендикулярные прямые и плоскости", а затем способом прямоугольного треугольника определить его действительную величину.

 

5.3. ЗАДАЧИ НА ОПРЕДЕЛЕНИЕ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ВЕЛИЧИН
ПЛОСКИХ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ФИГУР И УГЛОВ МЕЖДУ НИМИ

Общей схемой решения задач этой группы является приведение заданной плоской фигуры или плоскости угла в положение, параллельное одной из плоскостей проекций.
При выборе способа преобразования комплексного чертежа следует стремиться к простоте графических операций, их четкости и наименьшему количеству. В этом смысле способ вращения вокруг линии уровня является наиболее целесообразным для решения большинства задач данной группы, так как дает решение путем одного преобразования комплексного чертежа.

Примеры.
3адача 1.
Определение действительной величины плоской фигуры. Решение задачи дано на рис. 3.13, 3.24, 3.27 гл. 3.
Задача 2. Определение угла, образованного двумя пересекающимися прямыми. Задача решается аналогично предыдущей.
Задача 3 . Определение величины угла, образованного прямой и плоскостью. Задача 4. Определение величины угла между двумя плоскостями.
Указания к решению: в задаче 3 плоскость необходимо преобразовать в плоскость уровня, прямую - в линию уровня путем трех последовательных замен плоскостей проекций (существуют и другие пути решения); в задаче 4 заданные плоскости необходимо преобразовать в проецирующие.
Примечание. Решение задач 3 и 4 приведено в работе [1]. Решите их самостоятельно.

 

5.4. ЗАДАЧИ НА ПОСТРОЕНИЕ В ПЛОСКОСТИ ОБЩЕГО
ПОЛОЖЕНИЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ФИГУР ПО ЗАДАННЫМ РАЗМЕРАМ

Общей схемой решения задач этой группы является:
1) преобразование заданной плоскости общего положения в плоскость уровня;
2) решение в плоскости уровня заданной метрической задачи;
3) перенесение решения на исходные проекции обратным преобразованием.
Наиболее целесообразным при решении задач оказывается применение способа замены плоскостей проекций и вращения вокруг линии уровня.

Пример. Вписать окружность в треугольник АВС (рис. 5.2).
pr5_2.JPGРис.5.2

Алгоритм: 1. Преобразовать треугольник АВС в плоскость уровня способом замены плоскостей проекций.
2. В плоскости уровня построить вписанную в треугольник окружность.
3. Обратным преобразованием построить проекции окружности в исходной системе плоскостей проекций.
Построения. Для преобразования плоскости треугольника АВС в плоскость уровня выполнены две последовательные замены плоскостей проекций: вначале плоскость треугольника АВС преобразована в проецирующую, затем проецирующая плоскость преобразована в плоскость уровня. Построены проекции вписанной окружности в системе плоскостей проекций П45. Проекции окружности в системе плоскостей проекций П12, являющиеся эллипсами, построены по сопряженным диаметрам 1 - 2 и 3 - 4. На чертеже отмечены также точки касания окружности и сторон треугольника АВС.


[назад]     [предыдущая глава] [следующая глава]

Инженерная графика Курс лекций. Черчение, чертежи