КОМПЛЕКСНЫЕ ЗАДАЧИ

 

6.1. Общие положения
6.2. Примеры решения комплексных задач

6.1. ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ

Комплексными называются задачи, в которых на искомое наложены два условия и более. Их решение выполняется по следующей общей схеме:
1) вводятся вспомогательные геометрические фигуры (множества), каждая из которых, в отдельности удовлетворяет одному из условий, наложенных на искомое; Овалы для стандартных аксонометрических проекций окружности Теоретически окружность в аксонометрии проецируется в эллипс. Для упрощения построений допускается эллипс заменять четырехцентровым овалом.
2) определяется искомое как результат пересечения введенных в задачу вспомогательных множеств.
При решении конкретной комплексной задачи первый пункт приведенной выше общей схемы необходимо расшифровать, т. е. точно указать, сколько и какие именно вспомогательные множества (по виду и положению) должны быть введены для определения искомого. Этот вопрос может быть решен только после проведения анализа условий задачи.
Анализ является первым этапом решения задачи. Он преследует следующие цели:
а) выявить искомое, изучить заданные геометрические фигуры и представить их пространственное расположение; Плоскость Начертательная геометрия
б) установить взаимосвязь искомого с каждой из заданных геометрических фигур и определить условия, которым он должен удовлетворять; каждое выявленное условие должно быть однозначным;
в) выявить геометрические фигуры, каждая из которых является множеством элементов, удовлетворяющих одному из условий, наложенных на искомое; количество множеств равно количеству условий.
Таким образом, анализ позволяет наметить содержание и последовательность пространственных операций, необходимых для определения искомого, т. е. составить алгоритм решения задачи.
Вторым этапом решения задачи является исследование. Исследование проводится с целью выявления условий существования решения и числа решений. Выше было указано, что искомое определяется как результат пересечения некоторого числа вспомогательных геометрических фигур (множеств). Поэтому при исследовании необходимо иметь в виду следующее:

1. Две алгебраические поверхности порядков q1 и q2 пересекаются в общем случае по кривой порядка q1 x q2. В некоторых частных случаях эта кривая распадается на кривые более низких порядков.
2. Алгебраическая кривая порядка m пересекает произвольную плоскость в m точках.
3. Три алгебраические поверхности порядков q1, q2 и q3 пересекаются в общем случае в q1 x q2 x q3 точках, и, следовательно, поверхность порядка q и линии порядка m пересекаются в общем случае в q x m точках.

Примечание. В числе указанных точек пересечения могут быть мнимые и совпавшие.
Только после составления алгоритма и исследования задачи можно приступать к третьему заключительному этапу ее решения - построению на комплексном чертеже, - т. е. к графической реализации алгоритма. При этом следует выполнить в установленной алгоритмом последовательности известные из предыдущих разделов курса элементарные построения, не задумываясь уже над расположением заданных и возникающих в пространстве геометрических фигур.
Решая ту или иную задачу на комплексном чертеже, нужно выбрать такой путь, который позволит найти искомое при наименьшем количестве графических построений. Решение в этом смысле, как правило, будет и более точным. Выбор рационального пути не зависит от алгоритма решения задачи и является вопросом, связанным только с построением. При решении комплексных задач приходится пользоваться множествами [1].

 

6.2. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ КОМПЛЕКСНЫХ ЗАДАЧ

Задача 1. Из точки А опустить перпендикуляр n на прямую l общего положения (рис. 6.1, а).
pr6_1.JPG Рис.6.1

Анализ. Искомая прямая n должна удовлетворять двум условиям:
1. Проходить через точку А и быть перпендикулярной прямой l. Этому условию соответствует множество прямых, образующих плоскость , проходящую через точку А и перпендикулярную прямой l.
2. Проходить через точку А и пересекать прямую l. Этому условию удовлетворяет множество прямых, образующих плоскость Г.
Применение символики теории множеств позволяет записать этот анализ в следующем виде.
1. Искомое - прямая n;
2. {n:(A n l)} = ;
3. {n:(A n l)} = Г.
Алгоритм:
1) A (f h) l (f l и h l) ;
2) Г(A,l)
3) n = Г. Исследование. Задача имеет единственное решение, так как две плоскости пересекаются по одной прямой (собственной или несобственной).
Построение. Графическая реализация алгоритма показана на рис. 6.1, а. Построена плоскость (f h), перпендикулярная прямой l, так как f l и h l. При построении прямой n(АВ) пересечения плоскостей и Г найдена только одна точка В искомой прямой, так как точка А принадлежит обеим плоскостям. Точка В определена как точка пересечения прямой l с плоскостью (f h).

3адача 2. Через точку К, принадлежащую прямой d, провести прямую m, перпендикулярную прямой d и пересекающую прямую с (рис. 6.1, б).
Анализ . На прямую m наложены 2 условия:
1. Прямая m должна проходить через точку К перпендикулярно прямой d. Множество таких прямых составляют плоскость, например, .
2. Прямая m должна проходить через точку К и пересекать прямую с. Множество таких прямых составляют плоскость, например, .
1. Искомое - прямая m;
2. {m:(K m d)}= ;
3. {m:(K m c)}=
Алгоритм: 1. К (h f) d;
2. (c,К);
3. = m.
Исследование. Задача имеет единственное решение, так как искомая прямая и является результатом пересечения двух плоскостей. Построение понятно из чертежа 6.1, б.

XIX столетие в России началось с дворцового переворота. В 1801 г. в Михайловском замке в Петербурге был убит император Павел I. Вера в просвещённого монарха, надежды на социальные преобразования связывались с сыном Павла — молодым императором Александром I (1801 — 1825 гг.), однако они не оправдались. Отечественная война 1812 г. на время сплотила всех жителей страны: крепостные крестьяне и ремесленники плечом к плечу с аристократами и генералами защищали государство от армии Наполеона. После смерти Александра I в декабре 1825 г. те русские дворяне, которых возмущали существующие общественные отношения, попытались совершить государственный переворот, названный восстанием декабристов. В середине XIX в. Россия пережила сильные потрясения: поражением закончилась Крымская война 1853—1856 гг., умер император Николай I, взошедший на престол Александр II (1855—1881 гг.) осуществил долгожданную отмену крепостного права и другие реформы. Ощущалась острая потребность в переменах, и в обществе бурно обсуждались возможные пути развития страны. Рубеж XIX—XX столетий — переломная эпоха для России. Экономические подъёмы и кризисы, проигранная русско-японская война 1904—1905 гг. и революция 1905—1907 гг., Первая мировая война 1914—1918 гг. и как следствие революции в феврале и октябре 1917 г., свергшие монархию и власть буржуазии... Но в то же время наука, литература и искусство переживали небывалый расцвет.

3адача 3 . Через точку А провести прямую с, параллельную плоскости Г(a b) и наклоненную под углом к горизонтальной плоскости уровня (рис. 6.2).
pr6_2.JPG Рис.6.2

Анализ. На искомую прямую с наложены два условия:
1. Прямая с должна проходить через точку А и располагаться параллельно плоскости Г. Этому условию удовлетворяет множество прямых, проходящих через точку А и параллельных плоскости Г(а b).
2 Прямая с, проходя через точку А, должна быть наклонена к плоскости под углом . Этому условию удовлетворяет множество прямых, проходящих через точку А и наклоненных к под углом . Любая прямая этого множества является образующей прямого кругового конуса с вершиной в точке А.
1. Искомое - прямая с;
2. {c:(А c Г)} = Г' - плоскость;
3. {c:(А c = )} = Ф -конус.
Алгоритм.
1. А Г'(а' b') Г).
2. Ф(A,l = ) - конус с вершиной в точке А и образующими l.
3. c = Г' Ф.
Исследование. Задача может иметь два решения (как показано на чертеже), одно решение, если плоскость Г' будет касаться поверхности конуса, и ни одного решения, если плоскость Г' пересечет конус в одной точке (в вершине).
Построение. На рис. 6.2 показана графическая реализация алгоритма. Для построения линий пересечения плоскости Г' с поверхностью конуса Ф предварительно определена линия (1 - 2) пересечения плоскостей Г' и , через точки пересечения которой с окружностью основания конуса (точки 3 и 4) и вершину конуса проходят искомые образующие с и d.
На рис.6.3 и 6.4 приведены еще два примера решения комплексных задач. Там же приведены анализы и алгоритмы. Разберите решение этих задач самостоятельно.

pr6_3.JPG Рис.6.3pr6_4.JPG Рис.6.4


[назад]     [предыдущая глава] [следующая глава]

Инженерная графика Курс лекций. Черчение, чертежи