Вычисление площадей фигур при параметрическом задании границы

Вычисление площадей фигур при параметрическом задании границы (контура)  

Если граница фигуры задана параметрическими уравнениями  ,  ,то площадь фигуры вычисляется по одной из трех формул

: 

где   и  - значения параметра , соответствующие началу и концу обхода контура в положительном направлении (при ко-тором фигура остается слева). 

Пример 1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной эл-липсом  

Р е ш е н и е. Здесь удобно вычислить сначала . Отсюда 

Пример 2.Найти площадь астроиды

Пример 3. Найти  площадь фигуры, ограниченной одной аркой циклоиды  и осью

Пример 4. Вычислить  площадь фигуры, ограниченной кривой .

Пример 5. Найти площадь петли кривой: ; 

Пример 6. Вычислить  площадь, содержа­щуюся внутри кардиоиды:   ;