Площадь в полярных координатах

В полярных координатах площадь сектора, ограниченного дугой кривой   и лучами  и , выражается интегралом  

Пример 1. Найти площадь фигуры, лежащей в первой четверти и ограниченной параболой  и прямыми  и Подпись:                    Рис.3.1            

 

 

 

 

 

 

  Р е ш е н и е. Введем полярную систе­му координат, поместив полюс в фокус  параболы F и направив полярную ось в положительном направлении по оси Ох. Тогда,  как известно, уравнение параболы запишется в виде , где  параметр параболы. В нашем случае , а фокус F имеет координаты . Значит, уравнение параболы при­мет вид  , а уравнения пря­мых примут вид  и  (рис.3.1). Поэтому . Заменив Подпись:                

      
            1
  , получимили,  учитывая, что ,

Пример 2. Найти  площадь фигуры, лежащей вне круга   и огра­ниченной кривой .             

Пример 3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной окружностями  и .       

  Пример 4 . Найти площадь фигуры, вырезаемой  окружностью  из кардиоиды   (рис.3.4).

Пример 5. Найти  площадь петли декартова листа .