Методы расчета электрической цепи постоянного и переменного тока

Трехфазные цепи с симметричными пассивными приемниками

Соединение звездой. Четырехпроводная и трехпроводная цепи

На рис. 2.18 изображена схема четырехпроводной трехфазной цепи. Если пренебречь сопротивлениями линейных проводов и нейтрального провода, то фазные напряжения приемника и источника будут равны

, , .

Тогда токи в каждой фазе приемника определятся по формулам:

, , ,

ток в нейтральном проводе

İN = İa + İb + İc.

Из схемы видно, что при соединении фаз приемника звездой фазные и линейные токи равны между собой, например İA = İa. При симметричной нагрузке токи в фазах равны по величине и сдвинуты по фазе на один и тот же угол относительно соответствующих фазных напряжений. Векторная диаграмма напряжений и токов при симметричной нагрузке изображена на рис. 2.19.

Из диаграммы следует, что İA + İB + İC = 0, т. е. при симметричной нагрузке ток в нейтральном проводе отсутствует İN = 0, и необходимость в этом проводе отпадает. Трехфазная цепь без нейтрального провода будет трехпроводной (рис. 2.20).

Из схем рис. 2.18, 2.20 и векторной диаграммы рис. 2.19 следует, что при соединении звездой симметричных трехфазных приемников

  и .

Для определения токов при симметричной нагрузке достаточно определить ток только в одной из фаз, входящих в трехфазную цепь. В трехпроводную цепь при соединении нагрузки звездой включают только симметричные трехфазные приемники: электрические двигатели, электрические печи и др.

Соединение треугольником

Кроме соединения звездой, широкое применение получили трехпроводные трехфазные цепи с соединением приемников треугольником. Если три фазы приемника с фазными сопротивлениями Zab; Zbc; Zca включены непосредственно между линейными проводами трехпроводной цепи, то получим соединение приемников треугольником (рис. 2.21).

Из схемы рис. 2.21 видно, что если пренебречь сопротивлениями линейных проводов, то фазные напряжения приемника будут равны соответствующим линейным напряжениям источника питания: Uф = Uл. В отличие от соединения звездой фазные и линейные токи не равны между собой. Принятым условным положительным направлениям линейных напряжений соответствуют условные положительные направления фазных токов (см. рис. 2.21). Если сопротивления фаз приемника заданы, то фазные токи определяют по формулам

, , .

Линейные токи определяют по фазным токам из уравнений, составленных согласно первому закону Кирхгофа для узлов a, b, c:

İA = İab – İca, İB = İbc – İab, İC = İca – İbc.

Из уравнений следует, что любой из линейных токов равен геометрической разности соответствующих векторов токов тех двух фаз приемника, которые соединяются с данным линейным проводом.

При симметричной нагрузке Zab = Zbc = Zca фазные токи равны по величине и углы сдвига фаз токов по отношению к соответствующим фазным напряжениям одинаковы. Векторная диаграмма напряжений и токов при симметричной нагрузке, соединенной треугольником, изображена на рис. 2.22. Из диаграммы следует, что соотношение между фазными и линейными токами аналогично соотношению между фазными и линейными напряжениями при соединении нагрузки звездой.


Трехфазные цепи с несимметричными пассивными приемниками

Соединение звездой. Четырехпроводная цепь

Благодаря нейтральному проводу (см. рис. 2.18) напряжения на каждой из фаз приемника при несимметричной нагрузке будут неизменными и равными соответствующим фазным напряжениям источника питания как по величине, так и по фазе, т. е. фазные и линейные напряжения приемника также образуют симметричную систему. Но токи в фазах будут разными. Следовательно, нейтральный провод обеспечивает симметрию фазных напряжений приемника при несимметричной нагрузке. Поэтому в четырехпроводную сеть включают однофазные приемники, и режим работы каждого такого приемника, находящегося под неизменным фазным напряжением источника питания, не будет зависеть от режима работы приемников, включенных в другие фазы. Ток в нейтральном проводе зависит не только от характера сопротивлений фаз приемника, но и от схемы их включения.

Если сопротивлением нейтрального провода не пренебрегать (см. рис. 2.18), то при  фазные напряжения приемника не будут равны соответствующим напряжениям источника. В этом случае между нейтральными точками источника и приемника возникает напряжение , называемое напряжением относительно нейтрали или напряжением между нейтралями. Зная , можно определить фазные напряжения приемника.

Для определения напряжения относительно нейтрали можно воспользоваться формулой напряжения между двумя узлами, так как схема рис. 2.18 представляет собой схему с двумя узлами

,

где , , ,  – комплексы проводимостей фаз нагрузки и нейтрального провода. По известным напряжениям , , ,  можно построить потенциальную диаграмму (рис. 2.23) и провести на ней векторы фазных напряжений приемника , , . Комплексные значения этих напряжений можно определить, воспользовавшись уравнениями, составленными по второму закону Кирхгофа для схемы рис. 2.18:

, , .

Зная фазные напряжения приемника, можно определить фазные токи:

, , .

Ток в нейтральном проводе .

Правильность расчета можно проверить по формуле

İN = İa + İb + İc.

При увеличении сопротивления нейтрального провода эффективность его использования уменьшается: чем больше величина , тем больше фазные напряжения приемника отличаются от фазных напряжений источника. В случае обрыва нейтрального провода (YN = 0, ZN = ∞) при несимметричной нагрузке величина  будет максимальной. По этой причине плавкий предохранитель в нейтральный провод не ставят: при перегорании предохранителя на фазах нагрузки могут возникнуть значительные перенапряжения. В нейтральный провод также не вводят выключатель.

Соединение треугольником. Трехпроводная цепь

При несимметричной нагрузке (см. рис. 2.21) фазные токи определяются по тем же формулам, что и при симметричной нагрузке. Но вследствие не симметрии нагрузки векторы токов уже не образуют симметричную систему. Для определения линейных токов можно воспользоваться уравнениями, составленными для узлов a, b и c по первому закону Кирхгофа. Векторы линейных токов можно определить графически, построив потенциальную диаграмму напряжений и векторы фазных токов (рис. 2.24). Независимо от характера нагрузки геометрическая сумма векторов линейных токов в трехпроводной цепи равна нулю:

İA + İB + İC = 0.

Важной особенностью соединения фаз приемника треугольником является то, что при изменении сопротивления одной из фаз режим работы других фаз останется неизменным, так как линейные напряжения генератора являются постоянными (будет изменяться только ток данной фазы и линейные токи в проводах линии, соединенных с этой фазой). Поэтому схема соединения треугольником широко используется для включения несимметричной нагрузки, в частности, ламп накаливания.

Что касается симметричных трехфазных приемников, то их можно включать в трехпроводную цепь либо звездой, либо треугольником, что значительно расширяет область применения таких приемников. Так, на щитках многих трехфазных электродвигателей указывают два напряжения (например, ) и помещают шесть выводов: если линейное напряжение сети Uл = 380 В, то двигатель включают звездой и Uф = 220 В, если Uл = 220 В, то двигатель включают треугольником и Uф = Uл = 220 В. Очевидно, что и лампы накаливания можно включать или в четырехпроводную цепь звездой, или в трехпроводную – треугольником в зависимости от номинальных данных и напряжения сети.

2.4.6. Мощность генерирующих и приемных устройств трехфазной цепи

Мгновенное и среднее значения мощности трехфазного генератора

Известно, что мгновенное значение мощности в цепях перемен­ного тока

.

Если энергию, генерируемую каждой из фаз трехфазного генератора, обозначить соответственно WA, WB и WC, то мгновенное значение мощности источника (генератора)

.


Тогда среднее за период значение мощности (активная мощность) генератора будет равно сумме активных мощностей отдельных фаз:

Для трехпроводной цепи мгновенную и активную мощности можно выразить через линейные величины. Для этого из уравнения iA + – iB – iC = 0 определим один из линейных токов через два других, например iB = – iA – iC. Тогда мгновенное значение мощности

P = uA∙iA + uB∙iB + uC∙iC = uA∙iA + uB∙(– iA – iC) + uC∙iC

или

P = (uA – uB)∙iA + (uC – uB)∙iC = uAB∙iA + uCB∙iC.

Среднее за период значение мощности

,

где α и β – углы сдвига фаз векторов линейных токов İA и İC по отношению к векторам линейных напряжений  и .

Симметричный генератор с фазным напряжением