Методы расчета электрической цепи постоянного и переменного тока

Законы Кирхгофа

Первый закон Кирхгофа формулируется следующим образом: алгебраическая сумма токов в узле электрической цепи равна нулю, т. е.

  ∑ Ik = 0. (3.8)

Со знаком “плюс” учитывают токи, направленные от узла, а со знаком “минус” – токи, направленные к узлу.

Второй закон Кирхгофа применяется к контурам электрической цепи и формулируется так: в любом контуре электрической цепи алгебраическая сумма напряжений на сопротивлениях, входящих в этот контур, равна алгебраической сумме ЭДС источников этого контура, т. е.

 ∑ RkIk = ∑ Ek. (3.9)

В этом уравнении токи и ЭДС, направление которых совпадает с выбранным направлением обхода рассматриваемого контура, записывают со знаком “плюс”, в противном случае они учитываются со знаком “минус”. 

Второй закон Кирхгофа может быть сформулирован по-иному:

алгебраическая сумма напряжений ветвей, образующих контур, равна нулю:

 

 ∑ Uk = 0. (3.10)

Эквивалентные преобразования электрических схем

При анализе схемы электрической цепи иногда ее предварительно упрощают, т. е. уменьшают количество ветвей, узлов или элементов. Эквивалентным называют такое преобразование схемы, когда в нетронутой преобразованиями ее части остается неизменным распределение токов ветвей и потенциалов узлов.

Последовательное соединение элементов

На рисунке 3.8, а представлена схема с последовательным соединением элементов, когда через них проходит один и тот же ток I. Запишем для этой схемы выражение для входного напряжения U, воспользовавшись вторым законом Кирхгофа:

U = U1 + U2 + U3 – E1 + E2 – E3 = (R1+ R2 + R3)I – (E1 – E2 + E3).

Группируя величины одинаковой размерности, получим

R = R1+ R2+ R3;

E = E1 – E2 + E3 ,

где R – эквивалентное сопротивление,

 E – эквивалентная ЭДС исходной схемы.

В результате получим выражение для входного напряжения

 

U = RI – E,

которому соответствует схема на рисунке 3.8, б.

Таким образом, эквивалентные параметры схемы с последовательным соединением элементов находятся следующим образом:

 

 R =;  E =  (3.11)

Эквивалентное сопротивление R последовательно соединенных резисторов равно сумме сопротивлений этих резисторов, а эквивалентная ЭДС Е источников, соединенных последовательно, равна алгебраической сумме ЭДС этих источников. Со знаком плюс берут ЭДС тех источников, направление которых совпадает с направлением эквивалентной ЭДС Е. Для схемы на рисунке 3.8, б можно записать уравнение

 , (3.12)

которое представляет собой закон Ома для активного участка цепи или обобщенный закон Ома.

Параллельное соединение резисторов

При параллельном соединении ветвей они присоединяются к одной и той же паре зажимов (узлов) и, следовательно, находятся под одним напряжением.

Пусть три пассивных ветви с сопротивлениями R1, R2 и R3 присоединены к узлам 1 и 2, как показано на рисунке 3.9, а. Найдем параметры (R и G) эквивалентной ветви (рисунок 3.9, б).

В соответствии с первым законом Кирхгофа можно записать

  I = I1+ I2 + I3

или I = U(1/R1 + 1/R2 + 1/R3) = U(G1 + G2 + G3) = UG,  (3.13)

где G = G1 + G2 + G3 = 1/R.

Эквивалентная проводимость G параллельно соединенных резисторов равна сумме проводимостей этих резисторов.

Для частного случая двух параллельных ветвей с сопротивлениями R1 и R2 (рисунок 3.10) формулу для определения эквивалентного сопротивления R можно записать так:

  . (3.14)

При известном токе I значения токов I1 и I2 в параллельных ветвях можно рассчитать по формулам:

   (3.15)

Пример 3.1 Определить входное сопротивление схемы на рисунке 3.11, а при заданных значениях сопротивлений: R1 = 24 Ом, R2 = 60 Ом, R3 = = 40 Ом, R4 = 20 Ом, R5 = 12 Ом, R6 = 18 Ом, R7 = 12 Ом.

Решение. Для определения входного сопротивления произведем эквива- лентные преобразования схемы путем “сворачивания” ее относительно входных зажимов. Заменим ветвь с последовательно соединенными сопро- тивлениями R5 и R6 и параллельную ей ветвь с сопротивлением R4 эквивалентной с сопротивлением

 Ом.

Аналогичным образом заменим параллельно включенные сопротивления R2 и R3 эквивалентным

  Ом.

Полученную промежуточную схему на рисунке 3.11, б сворачиваем до одного сопротивления, подключенного к входным зажимам схемы:

 

Ом.

Параллельное соединение активных ветвей

На рисунке 3.12, а три активные ветви с заданными значениями сопротивлений R1, R2, R3 и ЭДС E1, E2, E3 источников подключены к внешнему источнику с напряжением U. Заменим эти ветви эквивалентной (рисунок 3.12, б) и определим параметры eё элементов R и E.

  Запишем выражения для токов ветвей исходной схемы в соответствии с обобщенным законом Ома:

 Найдем входной ток I этой схемы, применив первый закон Кирхгофа:

I = I1 + I2 + I3 = U (G1+ G2+ G3) – (E1G1 – E2G2 – E3G3).

Входной ток схемы на рисунке 3.12, б определим по обобщенному закону Ома:

Эквивалентность схем на рисунке 3.12 будет соблюдена при выполнении следующих условий:

  G = G1 + G2 + G3; 

 EG = E1G1 – E2G2 – E3G3. 

Из последнего соотношения находим формулу для вычисления ЭДС E эквивалентной схемы на рисунке 3.12, б:

Для общего случая параллельного соединения n активных ветвей параметры R и E эквивалентной ветви определяют по формулам: 

 G = R = 1/G; 

   (3.16) 

 В формуле (3.16) со знаком плюс берутся ЭДС ветвей, направление которых совпадает с направлением эквивалентной ЭДС Е.

Для двух параллельных активных ветвей (рисунок 3.13, а) эквивалентная ветвь (рисунок 3.13, б) имеет параметры

 

 ;

 (3.16, а)

 

Симметричный генератор с фазным напряжением