Методы расчета электрической цепи постоянного и переменного тока

Общий случай последовательной цепи синусоидального тока

Пусть электрическая цепь, схема которой приведена на рис. 2. 9 имеет четыре участка, сопротивления которых заданы. Запишем комплексы полных сопротивлений участков:

, , , .

Комплексы напряжений участков:

, , , .

Комплекс напряжения на входе:

.

При последовательном соединении комплекс полного эквивалентного сопротивления цепи равен сумме комплексов полных сопротивлений ее последовательных участков. Формулами можно пользоваться для расчета тока в цепи по заданному напряжению или для определения напряжения на входе двухполюсника по заданному току. В том и другом случаях необходимо задаться произвольной начальной фазой напряжения или тока.

Для цепи с несколькими участками обычно строят топографическую векторную диаграмму напряжений, каждая точка которой соответствует определенной точке электрической цепи. Чтобы осуществить соответствие точек диаграммы и цепи, построение векторов топографической векторной диаграммы ведут в той же последовательности, в какой обходят электрическую цепь. Обычно направление обхода выбирают противоположным положительному направлению тока в цепи.

В последовательной цепи во всех ее участках имеется один и тот же ток I, поэтому за исходный вектор удобно выбрать вектор тока и относительно его ориентировать все векторы напряжений участков.

При построении топографической векторной диаграммы схемы рис. 2.9, вектор тока направляем горизонтально и обход цепи против направления тока начинаем с точки а, потенциал которой принимаем за исходный. При переходе к точке b потенциал увеличится на величину падения напряжения в сопротивлении x1. Вектор этого напряжения   опережает по фазе вектор тока на угол сдвига фаз . Потенциал точки с будет выше потенциала точки b на величину напряжения на втором участке, вектор которого  имеет активную и емкостную составляющие. Векторы этих напряжений отложены на диаграмме в той же последовательности, в какой совершается обход цепи. Аналогично построены векторы напряжений и других участков цепи. Вектор результирующего напряжения U расположен между точками e и a. По топографической векторной диаграмме легко определить вектор напряжения между двумя произвольными точками цепи.

Цепь синусоидального тока с параллельно соединенными приемниками

Рассмотрим схему цепи рис. 2.10, состоящую из двух параллельных ветвей, параметры которых R1, L1, R2 и C2 заданы. Пусть напряжение U и частота f источника также известны. Необходимо определить токи, мощности цепи и ее эквивалентное сопротивление относительно входных зажимов. Расчет можно начать с выбора начальной фазы общего напряжения, для чего вектор напряжения удобно направить по одной из осей + 1 или + j .

Примем , что соответствует направлению вектора  по оси + 1. Заданные параметры ветвей позволяют записать их комплексы полных сопротивлений:

.

Зная комплексные значения , ,  можно найти токи ветвей, пользуясь законом Ома в комплексной форме:  и .

Общий ток неразветвленной части цепи определяют по первому закону Кирхгофа: .

Составим баланс мощности цепи, по которому комплекс полной мощности источника должен быть равен сумме комплексов полных мощностей ее отдельных ветвей:

.

Мощности ветвей могут быть подсчитаны и по другим формулам:

,

.

Суммарная мощность ветвей  должна быть равна мощности, подсчитанной по формуле .

Для определения комплекса полного эквивалентного сопротивления Z схемы в уравнение полного тока вместо токов подставим их значения, выраженные через напряжение   и сопротивления ,  и :

.

Отсюда  .

Если имеется п параллельных ветвей, то можно записать более общую формулу для определения эквивалентной проводимости:

.

В частности, можно получить простую формулу эквивалентного сопротивления двух параллельных  ветвей:

.

Построим векторную диаграмму токов заданной цепи (рис. 2.10). За исходный возьмем вектор напряжения, общий для всех ветвей. Направим этот вектор по оси + 1 и отложим по отношению к нему векторы токов İ1 и İ2 ветвей. Вектор тока İ1 отстает по фазе от вектора напряжения на угол , а вектор тока İ2 опережает по фазе вектор напряжения на угол . Вектор тока İ неразветвленного участка, равный геометрической сумме векторов токов ветвей, опережает по фазе вектор напряжения на угол .

В соответствии с получившейся векторной диаграммой исходная схема может быть заменена емкостным двухполюсником, и мнимая часть комплекса полного эквивалентного сопротивления цепи должна быть отрицательной.

Активные и реактивные составляющие проводимости и тока

В цепях синусоидального тока величину, обратную комплексу полного сопротивления Z, называют комплексом полной проводимости и обозначают буквой : .

Как и всякое комплексное число, комплекс проводимости имеет действительную часть, которую обозначают буквой g и называют активной проводимостью, и мнимую часть, обозначаемую буквой b и называемую реактивной проводимостью. Если цепь активно-индуктивная, то ее комплекс сопротивления Z = R + jxL и комплекс проводимости

,

где активная проводимость  а реактивная индуктивная проводимость .

Если цепь активно-емкостная, то ее комплекс сопротивления Z = R + jxC и комплекс проводимости

.

Активная проводимость g активно-емкостной цепи определяется той же формулой, что и активная проводимость активно-индуктивной цепи. Реактивная емкостная проводимость .

Мнимая часть комплекса проводимости положительна для емкостной цепи и отрицательна для индуктивной цепи.

При использовании векторных диаграмм для анализа явлений в цепях синусоидального тока пользуются также разложением вектора тока на его активную Ia и реактивную Ip составляющие. Это разложение можно провести графически или аналитически.

При аналитическом способе разложения ток какой-либо ветви представляют произведением комплексных значений напряжения и проводимости:

.

Величину  называют активной, величину   – реактивной составляющей тока.

Комплекс активной составляющей тока для индуктивной и емкостной цепей выражается формулой одного и того же вида:

.

Комплекс реактивной составляющей тока определяется следующими формулами:

для индуктивной цепи ,

для емкостной цепи .

Пользуясь активными и реактивными составляющими проводимости и тока, удобно проводить анализ режимов разветвленной цепи. В качестве примера вернемся к рассмотрению цепи, состоящей из двух параллельных ветвей (см. рис. 2.10).

Комплекс полной эквивалентной проводимости этой цепи

.

Если реактивная проводимость индуктивной ветви больше реактивной проводимости емкостной ветви (bL > bC), то Y = gэкв – jbэкв и цепь является активно-индуктивным двухполюсником. Ток неразветвленного участка такой цепи, равный току источника питания, отстает по фазе от напряжения источника. При (bL > bC), цепь представляет собой активно-емкостный двухполюсник.

В параллельной цепи с индуктивными и емкостными приемниками (см. рис. 2.10) возможно явление, когда общий ток цепи (ток неразветвленного участка) и напряжение на входе цепи совпадают по фазе. Это явление называют резонансом тока.

Реактивные составляющие токов индуктивной и емкостной цепей при резонансе токов равны по величине и противоположны по фазе. Следовательно, при резонансе токов любой параллельной цепи ее реактивный индуктивный ток ILp и реактивный емкостный ток ICp взаимно компенсируются. Цепь представляет собой активный двухполюсник, эквивалентная проводимость которого равна сумме активных проводимостей ветвей: Y = g1 + g2 = gэкв. Цепь имеет только активные составляющие тока I = Ia1 + Ia2 и потребляет только активную энергию. Цепь при резонансе токов не потребляет от источника реактивной энергии. В ней имеет место взаимный обмен энергиями между электрическим и магнитным полями. Источник питания лишь компенсирует потерю энергии в активных сопротивлениях ветвей.

Симметричный генератор с фазным напряжением