Математика лекции и примеры решения задач

Сервис для выполнения любых видов студенческих работ

Сервис для выполнения любых видов студенческих работ

 

Народная медицина

Соблазн возбуждающая  жвачка

Соблазн возбуждающая жвачка

 

Выполнение 
работ на заказ. Контрольные, курсовые и дипломные работы

Выполнение работ на заказ. Контрольные, курсовые и дипломные работы

Renoven - антиварикозный   бальзам

Renoven - антиварикозный бальзам

ШефМаркет. Доставка продуктов с рецептами

Уборка   квартир в Москве

Уборка квартир в Москве

Дизайнерская мебель

Заказ и доставка билетов

Заказ и доставка билетов

 Академия Моды и Стиля

Академия Моды и Стиля

 

Интернет-магазин Olympus

Интернет-магазин Olympus<

Элементарная математика
Кратные интегралы
Математический анализ
Векторный анализ
Аналитическая геометрия
Производная и дифференциальные
уравнения
Элементы векторной алгебры
Функции и их графики
Алгебраические структуры
Матрицы
Пределы
Комплексные числа
Формула Тейлора
Производные
Непрерывность функций
Линия и плоскость
Векторная алгебра
Нахождение корней уравнений
Асимптоты графика функции
Кривые и поверхности
Свойства дифференцируемых
функций
Бином Ньютона
Системы координат
Дифференцирование исчисление
Интегральное исчисление
Ряды Фурье
Функции нескольких переменны
Определенные интегралы
Неопределённый интеграл
ТФКП
Типовой расчет (задания из Кузнецова)
Вычисление площадей
Предел функции
Производная функции
Интегрирование тригонометрических выражений
Вычислить криволинейный интеграл
Провести полное исследование поведения функции
Определенный и неопределенный интеграл
Применение тройных интегралов
Криволинейный интеграл
Векторная функция
Электрические и магнитные цепи
решение контрольной работы по математике

Основные обозначения и определения

Первый способ задания функции: табличный

пример

Второй способ задания функции: с помощью формулы

Обзор некоторых элементарных функций

Третий способ задания функции: указание процедуры вычисления Во многих случаях функцию $ f$ приходится задавать сложным образом, так как предыдущие способы задания функций не годятся.

Композиция функций

Обратная функция

Примеры и упражнения

Упражнения

Формула Тейлора представления числовой функции многочленом

Многочлен Тейлора

Коэффициенты Тейлора

Остаток в формуле Тейлора и его оценка

Остаток в формуле Тейлора в форме Лагранжа

Формула Тейлора для некоторых элементарных функций

Упражнение

Примеры

Приближённое нахождение корней уравнений

Кривизна плоской кривой

Кривизна графика функции

Вершины кривых

Примеры

Радиус кривизны

Упражнения

Приближённое нахождение корней уравнений и точек экстремума

Отделение корней

Пример

Метод простого перебора

Метод половинного деления

Пример

Метод простых итераций

Теория

Теорема Если функция $ {\varphi}(x)$ имеет производную в некоторой окрестности $ E$ корня $ x^*$ уравнения $ x={\varphi}(x)$ , причём $ \vert{\varphi}'(x)\vert\leqslant {\gamma}<1$ при $ x\in E$ , то последовательность итераций $ x_{i+1}={\varphi}(x_i)$ , полученных при $ i=1,2,3,\dots$ , начиная с $ x_0\in E$ , сходится к корню $ x^*$ .

Метод секущих

Метод одной касательной

Метод Ньютона (метод касательных)

Рассмотрение предыдущего метода позволяет предположить, что итерации станут приближаться к корню ещё быстрее, если мы будем выбирать касательную вместо секущей не только на первом, а на каждом шаге. Ясно, что тогда формула итераций будет иметь вид $\displaystyle x_{i+1}=x_i-\dfrac{1}{f'(x_i)}f(x_i)$

Пример   Решим методом Ньютона всё то же уравнение $ x^3+2x^2+3x+5=0$ ,

Метод хорд (метод линейной интерполяции)

Пример  Решим уравнение $ x^3+2x^2+3x+5=0$ методом хорд.

Приближённое нахождение точки экстремума

Метод простого перебора

Метод почти половинного деления

Метод золотого сечения и метод Фибоначчи

Методы, связанные с приближённым нахождением корня производной

Пример Найдём локальные экстремумы, в том числе минимальное значение, функции $ f(x)=x^4-5x^3+6x-1$ .

Упражнения

Векторная алгебра

Определение вектора

Операции над векторами В этом разделе мы вспомним известные из школьного курса математики операции сложения векторов и умножения вектора на число, а также свойства этих операций. Определение Суммой векторов a и b называется такой третий вектор c, что при совмещенных началах этих трех векторов, векторы a и b служат сторонами параллелограмма, а вектор c-- его диагональю

Теорема Для любых векторов $ {\bf a},{\bf b},{\bf c}$ и любых вещественных чисел $ {\alpha},{\beta}$ выполняются следующие свойства: $ {\bf a}+{\bf b}={\bf b}+{\bf a}$ (свойство коммутативности операции сложения);

Разложение вектора по базису

Рассмотрим пример на нахождение координат вектора

Линейная зависимость векторов

Предложение Если система векторов содержит линейно зависимую подсистему, то вся система линейно зависима

Система координат и координаты вектора

Рассмотрим случай трехмерного пространства (на плоскости все построения аналогичны). Фиксируем некоторую точку $ O$ и возьмем произвольную точку $ M$ . Радиус-вектором точки $ M$ по отношению к точке $ O$ называется вектор $ \overrightarrow {OM}$ .

Если в пространстве выбран базис, то вектор $ \overrightarrow {OM}$ раскладывается по этому базису. Таким образом точке $ M$ можно сопоставить упорядоченную тройку чисел -- координаты ее радиус-вектора.

Проекции вектора

Проекция на ось суммы векторов равна сумме их проекций

Скалярное произведение

Теорема   Если векторы в ортонормированном базисе заданы своими координатами $ {{\bf a}=({\alpha}_1,
{\alpha}_2,{\alpha}_3)}$ , $ {{\bf b}=({\beta}_1,{\beta}_2,{\beta}_3})$ , то $\displaystyle {\bf a}{\bf b}={\alpha}_1{\beta}_1+{\alpha}_2{\beta}_2+{\alpha}_3{\beta}_3.$

Векторное произведение

Выражение векторного произведения через координаты сомножителей

Смешанное произведение Определение Смешанным произведением векторов a,b,c называется число $ {\bf a}\cdot({\bf b}\times {\bf c})$ . Смешанное произведение будем обозначать abc.

Смешанное произведение линейно по каждому аргументу

Нахождение координат вектора в произвольном базисе Пусть в правом ортонормированном базисе заданы векторы $ {{\bf a}=({\alpha}_1,
{\alpha}_2,{\alpha}_3)}$ , $ {{\bf b}=({\beta}_1,{\beta}_2,{\beta}_3)}$ , $ {{\bf c}=({\gamma}_1,{\gamma}_2,{\gamma}_3)}$ , $ {{\bf d}=({\delta}_1,{\delta}_2,{\delta}_3)}$ . Цель данного раздела-- научиться определять, образуют ли векторы a,b,c базис, и, в случае положительного ответа на этот вопрос, научиться находить координаты вектора d в базисе a,b,c.

Линия и плоскость в пространстве

Уравнение поверхности Определение Пусть в пространстве задана некоторая система координат и поверхность $ S$ . Будем говорить, что уравнение, связывающее три упорядоченные переменные, является уравнением поверхности $ S$ в заданной системе координат, если координаты любой точки поверхности $ S$ удовлетворяют этому уравнению, а координаты любой точки, не лежащей на поверхности $ S$ , этому уравнению не удовлетворяют.

Уравнение плоскости Пусть в трехмерном пространстве задана декартова прямоугольная система координат. Попробуем установить, какой вид может иметь уравнение плоскости. Для этого заметим, что все плоскости, перпендикулярные одной прямой, параллельны друг другу. Определение Любая прямая, перпендикулярная плоскости, называется нормалью к плоскости, а любой ненулевой вектор на такой прямой мы будем называть нормальным вектором плоскости.

Теорема Всякое уравнение(11.3), в котором $ \vert A\vert+\vert B\vert+\vert C\vert\ne0$ , является уравнением плоскости, ортогональной вектору $ {\bf n}=(A,B,C)$ .

Изображение плоскости

Все коэффициенты и свободный член в уравнении отличны от нуля В этом случае находим точки пересечения плоскости с осями координат.

Коэффициенты при неизвестных отличны от нуля, а свободный член равен нулю в этом случае плоскость проходит через начало координат $ O(0;0;0)$ и других точек пересечения с осями нет.

Один из коэффициентов при неизвестных равен нулю Один из коэффициентов при неизвестных равен нулю В этом случае плоскость параллельна оси того переменного, которое в явном виде отсутствует в уравнении плоскости (коэффициент перед этим переменным равен нулю).

Два коэффициента при переменных равны нулю

Угол между плоскостями

Расстояние от точки до плоскости

Прямая на плоскости

Прямая в пространстве Прямая в пространстве может быть задана как линия пересечения двух плоскостей. Так как точка прямой прнадлежит каждой из плоскостей, то ее координаты обязаны удовлетворять уравнениям обеих плоскостей, то есть удовлетворять системе из двух уравнений.

Замечание Если в качестве параметра $ t$ взять время, то точка $ M$ будет двигаться по прямой со скоростью $ \vert{\bf p}\vert$ , причем в момент времент $ {t=0}$ ее положение совпадает с точкой $ M_0$ . Вектор скорости точки совпадает с вектором p.

Основные задачи на прямую и плоскость Довольно часто встает следующая задача. Требуется от общих уравнений прямой перейти к параметрическим, которые в некотором смысле являются более удобными. Рассмотрим, как решить такую задачу. Для того, чтобы написать параметрические уравнения прямой нужно знать координаты какой-нибудь точки на прямой и координаты направляющего вектора.

Пример Найдите точку пересечения прямой $ \frac{x-2}2=\frac{y+1}{-1}=\frac{z-1}3$ и плоскости $ {x+y+2z-1=0}$ .

Даны уравнения двух прямых. Требуется найти угол между этими прямыми.

Пример Найдите точку $ M_1$ , симметричную точке $ M(1;-2;1)$ относительно прямой $ {\gamma}$ :

Системы линейных уравнений

Правило Крамера Теорема (Правило Крамера) Если в системе $ n$ линейных уравнений с $ n$ неизвестными $ {\Delta}\ne0$ , то система имеет решение и притом единственное.

Пример   Решите систему уравнений $ \left\{\begin{array}{l}2x_1-x_2+x_3=1,\\ 3x_1+x_2+5x_3=-3,
\\ 5x_1+3x_3=2.\end{array}\right.$

Существование решения системы линейных уравнений общего вида

Однородная система уравнений

Структура решений неоднородной системы линейных уравнений

Алгоритм нахождения решений произвольной системы линейных уравнений (метод Гаусса)

Группы

Пример

Кольца

Пример

Поля

Многомерные пространства Линейные пространства

Определение и примеры

По аналогии с трехмерным векторным пространством элементы любого линейного пространства называются векторами , хотя природа этих элементов может быть совсем иная.

Базис и размерность пространства

     Теорема В линейном пространстве любые два базиса содержат одинаковое число векторов.     

Координаты векторов

Изменение координат вектора при изменении базиса

Евклидово пространство Определение   Вещественное линейное пространство, в котором задано скалярное произведение называется евклидовым пространством.      

Аффинное $ n$ -мерное пространство

Линейные преобразования Определение и примеры

Пример

Упражнение Пусть $ L$  -- двумерное векторное пространство, $ l$  -- некоторая прямая, проходящая через начало координат, $ \mathcal{A}$  -- преобразование, переводящее каждый вектор $ x$ в вектор $ x'$ симметричный исходному относительно прямой

Матрица линейного преобразования

Пример

Изменение матрицы линейного преобразования при изменении базиса

Собственные числа и собственные векторы  Ненулевой вектор $ x$ называется собственным вектором линейного преобразования $ \mathcal{A}$ , соответствующим собственному числу $ {\lambda}$ , если $ {\mathcal{A}(x)={\lambda}x}$ .

Пример

Нахождение собственных чисел и собственных векторов матриц

Пример Найдите собственные числа и собственные векторы матрицы $\displaystyle A=\left(\begin{array}{rrr}1&-3&4\\ 4&-7&8\\ 6&-7&7\end{array}\right).$
     Теорема   Пусть собственные векторы $ {e_1,\,e_2,\ldots,\,e_k}$ преобразования $ \mathcal{A}$ соответствуют собственным числам $ {{\lambda}_1,\,{\lambda}_2\ldots,\,{\lambda}_k}$ , среди которых нет равных друг другу. Тогда система векторов $ {e_1,\,e_2,\ldots,\,e_k}$ является линейно независимой.
    Теорема   Если матрица $ A$  -- симметричная, то ее собственные числа являются вещественными числами и существует ортонормированный базис из собственных векторов.     
    Пример   Приведите уравнение поверхности $\displaystyle x^2+5y^2+z^2+2xy+6xz+2yz-2x+6y+2z=0$

Кривые и поверхности второго порядка

Кривые второго порядка Определение  Кривой второго порядка называется множество точек, координаты которых удовлетворяют уравнению второго порядка $\displaystyle ax^2+bxy+cy^2+dx+fy+g=0,$

Окружность

Эллипс Определение Эллипсом называется геометрическое место точек плоскости, для каждой из которых сумма расстояний до двух данных точек той же плоскости, назывемых фокусами эллипса , есть величина постоянная.   

Предложение Эллипс обладает двумя взаимно перпендикулярными осями симметрии, на одной из которых находятся его фокусы, и центром симметрии. Если эллипс задан каноническим уравнением (12.4), то его осями симметрии служат оси $ Ox$ и $ Oy$ , начало координат -- центр симметрии.

Гипербола

Парабола

Пример   Постройте параболу $ y^2=3x$ . Найдите ее фокус и директрису.

Параллельный перенос системы координат Пусть на плоскости заданы две декартовы прямоугольные системы координат: $ xOy$ ("старая") и $ \tilde xO_1\tilde y$ ("новая"), причем как оси абсцисс, так и оси ординат обеих систем параллельны и одинаково направлены В этом случае говорят, что одна система координат получается из другой "параллельным переносом"

 Пример   Нарисуйте кривую $ {x^2+9y^2-4x+18y+4=0}$ и найдите ее фокусы.

Пример   Постройте кривую $\displaystyle x+1+\sqrt{2-2y^2+4y}=0.$

Поверхности второго порядка Определение Поверхностью второго порядка называется поверхность, определяемая уравнением $\displaystyle ax^2+by^2+cz^2+dxy+fxz+gyz+hx+ky+lz+m=0,$

Сфера

Эллипсоид

Сечения эллипсоида координатными плоскостями

Гиперболоиды   Однополостным гиперболоидом называется поверхность, каноническое уравнение которой имеет вид $\displaystyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1,$ Определение   Двуполостным гиперболоидом называется поверхность, каноническое уравнение которой имеет вид $\displaystyle -\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1,$

Конус Конусом второго порядка называется поверхность, уравнение которой в некоторой декартовой системе координат имеет вид $\displaystyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=0,$

Параболоиды Определение  Гиперболическим параболоидом называется поверхность, уравнение которой в некоторой декартовой системе координат имеет вид $\displaystyle z=\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2},$

Цилиндры

Цилиндрической поверхностью называется геометрическое место параллельных прямых, пересекающих данную линию. Эта линия называется направляющей , а параллельные прямые -- образующими .    

Параллельный перенос системы координат

 Пример Нарисуйте поверхность $ 4x^2-y^2+z^2+8x-4y-2z=3$ .

Пределы

Пределы при разных условиях. Некоторые частные случаи

Пример Пусть $ x_0=0$ и рассматривается функция $ f(x)=2\sin x+1$ . Покажем, что $\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}(2\sin x+1)=1.$

Пример Покажем, что предел последовательности $ y_n=\dfrac{1}{n^2}$ равен 0.

Общее определение предела Определение Пусть $ \mathcal{B}$ -- некоторая база и функция $ f(x)$ определена во всех точках $ x$ некоторого окончания $ E_0$ базы $ \mathcal{B}$ (и, значит, определена во всех точках более далёких окончаний $ E\sbs E_0$ ). Число $ L$ называется пределом функции $ f(x)$ по базе $ \mathcal{B}$ (или при базе $ \mathcal{B}$ ) и обозначается $\displaystyle L=\lim_{\mathcal{B}}f(x),$

Пример

Замена переменного и преобразование базы при такой замене

Бесконечно малые и локально ограниченные величины и их свойства Определение Функция $ {\alpha}(x)$ называется бесконечно малой величиной при базе $ \mathcal{B}$ , если её предел при данной базе равен 0, то есть $ {\alpha}\xrightarrow {\mathcal{B}}0$ .

Общие свойства пределов

Первый и второй замечательные пределы  Определение   Первым замечательным пределом называется предел $\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}.$  Определение   Вторым замечательным пределом называется предел $\displaystyle e=\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n.$

Приближённое нахождение корней уравнений

Бесконечно большие величины и бесконечные пределы

Пример

Использование непрерывности функций при вычислении пределов

Сравнение бесконечно малых

Таблица эквивалентных бесконечно малых при

Пример

Упражнения на вычисление пределов

Матрицы

Определение, обозначения и типы матриц Матрицей размеров $ m\times n$ называется прямоугольная таблица чисел, содержащая $ m$ строк и $ n$ столбцов. Числа, составляющие матрицу, называются элементами матрицы.       

Сложение матриц и умножение на число Суммой матриц $ A$ и $ B$ размеров $ m\times n$ является матрица $ C$ таких же размеров, у которой $ {c_{ij}=a_{ij}+b_{ij}}$ , $ {i=1,2,\dots,m}$ , $ {j=1,2,\dots,n}$ .   

Символ суммирования

Замечание   Буква, стоящая внизу под знаком суммы (индекс суммирования), не влияет на результат суммирования. Важно лишь, как от этого индекса зависит суммируемая величина.

Умножение матриц

Пример Даны матрицы $ A=\left(\begin{array}{rrr}1&2&-1\\ 3&4&0\\ -1&2&-2\end{array}\right)$ , $ B=\left(\begin{array}{rr}
3&-2\\ 1&0\\ 4&-3\end{array}\right)$ . Найдите произведения $ AB$ и $ BA$ .

Замечание Легко проверить, что произведение квадратных матриц одного порядка всегда существует (определено).

Докажем дистрибутивность умножения

Транспонирование матрицы

Над матрицами определена еще одна операция, называемая транспонированием .

Определители

Предложение   При транспонировании матрицы определитель не меняется, то есть $ {\vert A^\top\vert=\vert A\vert}$ .     

Предложение Если матрица содержит нулевую строку, то ее определитель равен нулю.

Пример

Алгоритм создания нулей в столбце

Обратная матрица Матрица $ B$ называется обратной матрицей для квадратной матрицы $ A$ , если $ {AB=BA=E}$ .         

 Пример   Найдите обратную матрицу для матрицы $ {A=\left(\begin{array}{rrr}1&-2&0\\ 3&4&2\\ -1&3&1\end{array}\right)}$ .

Ранг матрицы Рангом матрицы $ A$ называется наибольший из порядков миноров матрицы $ A$ , отличных от нуля. Ранг нулевой матрицы считается равным нулю.     

Пример   Матрица $ A$ примера 14.9 имеет ранг 3, так как есть минор третьего порядка, отличный от нуля, а миноров четвертого порядка нет.

Алгоритм нахождения ранга матрицы

Теорема   Определитель матрицы равен нулю тогда и только тогда, когда один из ее столбцов (одна из строк) является линейной комбинацией остальных столбцов (строк).    

Комплексные числа

Четыре теоремы о дифференцируемых функциях

В этом разделе мы рассмотрим некоторые утверждения, касающиеся функций, которые во всех точках данного множества имеют производную. Такие функции называются дифференцируемыми на данном множестве.

Правило Лопиталя

Замечания

Правило Лопиталя для отношения бесконечно больших

Сравнение бесконечно больших величин

Пусть $ \mathcal{B}$  -- некоторая база, и $ f(x)$ и $ g(x)$  -- функции, заданные на некотором окончании этой базы. В главе 2 мы изучали сравнение функций $ f(x)$ и $ g(x)$ при базе $ \mathcal{B}$ в случае, когда они является бесконечно малыми. Здесь же мы изучим сравнение бесконечно больших $ f(x)$ и $ g(x)$ .

Примеры

Примеры

Непрерывность функций и точки разрыва

Определение непрерывности функции Пусть функция $ f(x)$ определена на некотором интервале $ (a;b)$ , для которого $ x_0$ -- внутренняя точка. Функция $ f(x)$ называется непрерывной в точке $ x_0$ , если существует предел $ f(x)$ при $ x\to x_0$ и этот предел равен значению $ f(x_0)$ , то есть $\displaystyle \lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0).$

Примеры, упражнения

Определение точек разрыва

Пример   Рассмотрим функцию $ f(x)=\dfrac{\vert x^2-x\vert}{x^2-x}$ ,

Пример   Функция $ f(x)=\dfrac{1}{x^2}$ имеет при $ x=0$ разрыв второго рода, так как $ f(x)\to+\infty$ при $ x\to0+$ и  

Пример   Рассмотрим функцию $ f(x)$ , заданную равенством $\displaystyle f(x)=\lim_{n\to\infty}\cos^nx.$ Математика лекции и примеры решения задач

Свойства функций, непрерывных в точке Пусть функции $ f(x)$ и $ g(x)$ непрерывны в точке $ x_0$ . Тогда функции $ h_1(x)=f(x)+g(x)$ , $ h_2(x)=f(x)-g(x)$ , $ h_3(x)=f(x)g(x)$ непрерывны в точке $ x_0$ . Если $ g(x_0)\ne0$ , то функция $ h_4(x)=\dfrac{f(x)}{g(x)}$ также непрерывна в точке $ x_0$ .

Непрерывность функции на интервале и на отрезке

Определение

Пример   Рассмотрим функцию $ f(x)=\cos x-x$ на отрезке $ [0;\frac{\pi}{2}]$ .

Теорема об ограниченности непрерывной функции

Теорема о достижении экстремума непрерывной функцией

Равномерная непрерывность

Примеры, упражнения

Непрерывность обратной функции Пусть $ f$  -- непрерывная монотонная функция, $ \mathcal{D}(f)=[a;b]$ , $ \mathcal{E}(f)=[c;d]$ . Тогда обратная к $ f$ функция $ {\varphi}$ непрерывна на отрезке $ [c;d]$ .

Гиперболические функции и ареа-функции

Гиперболическим синусом называется функция $\displaystyle \mathop{\rm sh}\nolimits x=\frac{1}{2}(e^x-e^{-x}).$
Гиперболическим косинусом называется функция $\displaystyle \mathop{\rm ch}\nolimits x=\frac{1}{2}(e^x+e^{-x}).$
Гиперболическим тангенсом называется функция $\displaystyle \mathop{\rm th}\nolimits x=\frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}=\dfrac{\mathop{\rm sh}\nolimits x}{\mathop{\rm ch}\nolimits x}.$
Гиперболическим котангенсом называется функция $\displaystyle \mathop{\rm cth}\nolimits x=\frac{e^x+e^{-x}}{e^x-e^{-x}}=\dfrac{...
...\nolimits x}{\mathop{\rm sh}\nolimits x}=\dfrac{1}{\mathop{\rm th}\nolimits x}.$

Примеры, упражнения

Примеры и упражнения

Производные и дифференцирование функции

Мгновенная скорость при прямолинейном движении

Касательная к кривой на плоскости

Определение

Производная

Свойства производных

Замечания

Производные некоторых элементарных функций

Найдём производную функции $ f(x)=\sqrt{x}$ в точке $ x>0$ .

Рассмотрим функцию $ f(x)=\mathop{\rm tg}\nolimits x$ как отношение $ \dfrac{\sin x}{\cos x}$

Примеры

Дифференциал Функция $ f(x)$ имеет дифференциал $ df(x_0;{\Delta}x)$ в точке $ x_0$ тогда и только тогда, когда она имеет производную $ f'(x_0)$ в этой точке; при этом $\displaystyle df(x_0;{\Delta}x)=f'(x_0){\Delta}x.$

Производная композиции

Примеры

Примеры

Инвариантность дифференциала

Производная обратной функции

Производные некоторых элементарных функций (продолжение)

Пример

Сводка основных результатов о производных

Производные высших порядков

Пример

Дифференциалы высших порядков и их неинвариантность

Производные функции, заданной параметрически Пусть задана зависимость двух переменных $ x$ и $ y$ от параметра $ t$ , изменяющегося в пределах от $ {\alpha}$ до $ {\beta}$ : $\displaystyle x={\varphi}(t); y=\psi(t); t\in({\alpha};{\beta}).$ Пусть функция $ x={\varphi}(t)$ имеет обратную: $ t={\varphi}^{-1}(x)=\Phi(x)$ Тогда мы можем, взяв композицию функций $ y=\psi(t)$ и $ t=\Phi(x)$ , получить зависимость $ y$ от $ x$ : $ y=\psi(\Phi(x))$ . Зависимость величины $ y$ от величины $ x$ , заданная через зависимость каждой из них от параметра $ t$ в виде $ x={\varphi}(t), y=\psi(t)$ , называется функцией $ y=y(x)$ , заданной параметрически .

Производная функции, заданной неявно

Приближённое вычисление производных

Примеры и упражнения

Примеры и упражнения 2