Расчёт трёхфазной цепи Резонанс в электрических цепях Расчет токов коротких замыканий Электрическая цепь с последовательным соединением элементо Метод расчета тока в выделенной ветви сложной схемы

Полученному уравнению соответствует эквивалентная схемы замещения рис. 27а, где остальная часть схемы заменена эквивалентным генератором напряжения с параметрами Eэ=Uxxав, , что и требовалось доказать.

 

Генератор напряжения (EЭ, R0) может быть заменен эквивалентным генератором тока (JЭ, G0) (рис. 27б) исходя из условия эквивалентности:.

Параметры эквивалентного генератора тока могут быть определены (рассчитаны или измерены) независимым путем, как Jэ=Iкзав , G0=Gвхав , где Iкзав - ток короткого замыкания в выделенной ветви.

Метод расчета тока в выделенной ветви сложной схемы, основанный на применении теоремы об эквивалентном генераторе, получил название метода эквивалентного генератора напряжения (тока) или метода холостого хода и короткого замыкания (х.х. и к.з.). Последовательность (алгоритм) расчета выглядит так.

1) Удаляют из сложной схемы выделенную ветвь, выполняют расчет оставшейся части сложной схемы любым методом и определяют напряжение холостого хода   между точками подключения выделенной ветви.

2)Удаляют из сложной схемы выделенную ветвь, закорачивают в схеме точки подключения выделенной ветви, выполняют расчет оставшейся части сложной схемы любым методом и определяют ток короткого замыкания Iкзаb в закороченном участке между точками подключения выделенной ветви.

3)Удаляют из схемы выделенную ветвь, в оставшейся части схемы удаляют все источники (источники ЭДС E закорачивают, а ветви с источниками тока J удаляют из схемы), методом преобразования выполняют свертку пассивной схемы относительно точек подключения выделенной ветви и таким образом определяют Rвхаb.

4) Составляют одну из эквивалентных схем замещения с генератором напряжения (рис. 27а) или с генератором тока (рис. 27б).

5) Выполняют расчет эквивалентной схемы (рис. 27а или рис. 27б) и находят искомый ток, например:

- по закону Ома для схемы рис. 27а;

- по методу двух узлов для схемы рис. 27б.

Так как между тремя параметрами эквивалентного генератора справедливо соотношение , то для их определения достаточно рассчитать любые два из трех параметров согласно п.п. 1), 2), 3), а третий параметр определить из приведенного соотношения.

Однако данная система уравнений может быть составлена формальным путем:

При составлении уравнений необходимо помнить следующее:

*&- сумма сопротивлений, входящих в i-й контур;

&- сумма сопротивлений, общих для i-го и k-го контуров, причем & ;

члены на главной диагонали всегда пишутся со знаком “+”;

знак “+” перед остальными членами ставится в случае, если через общее сопротивление &i-й и k- й контурные токи проходят в одном направлении, в противном случае ставится знак “-”;

если i-й и k- й контуры не имеют общих сопротивлений, то ;

в правой части уравнений записывается алгебраическая сумма ЭДС, входящих в контур: со знаком “+”, если направление ЭДС совпадает с выбранным направлением контурного тока, и “-”, если не совпадает.&

В нашем случае, для первого уравнения системы, имеем:

Следует обратить внимание на то, что, поскольку , коэффициенты контурных уравнений всегда симметричны относительно главной диагонали.

Если в цепи содержатся помимо источников ЭДС источники тока, то они учитываются в левых частях уравнений как известные контурные токи: k- й контурный ток, проходящий через ветвь с k- м источником тока равен этому току .

Пример. В схеме рис. 28 с заданными параметрами элементов (E1=100 В; E2=20 В; E3=30 В, E4=10 В; R1=R2=40 Ом; R3=R4=20 Ом; R5=R6=10 Ом) определить ток в выделенной ветви I6 методом эквивалентного генератора.

 

Решение задачи выполняется поэтапно.

1) Определение Uxx=Eэ в схеме рис. 29.

Переменный ток (напряжение) и характеризующие его величины

Переменным называется ток i(t) [напряжение u(t)], периодически изменяющийся во времени по произвольному закону. В электроэнергетике понятие ’’переменный’’ употребляют в более узком смысле, а именно: под переменным  понимают ток (напряжение), изменяющийся во времени по синусоидальному закону:

i(t)=Im sin(wt+yi),

u(t)=Umsin(wt+yu)

Графические диаграммы этих функций имеют вид рис. 32:

Таким образом, в цепи переменного тока любой сложности напряжения и токи на всех участках будут изменяться по синусоидальному закону при условии, что источники энергии обеспечивают синусоидальную форму напряжений на их выводах.

Диапазон частот токов и напряжений, применяемых в различных отраслях современной техники, очень велик: от 10-1 Гц до 109 Гц. В электроэнергетике в качестве стандарта частоты в Европе принята частота f=50 Гц (w=2pf = 314 c-1), а в США и Канаде f = 60 Гц (w = 377 с-1), в других странах возможны оба варианта или один из них. [an error occurred while processing this directive]

 Частота f = 50 Гц принята в качестве стандарта исторически на заре развития электроэнергетики и уже не соответствует сегодняшнему уровню развития техники. Оптимальной на сегодня была бы частота в диапазоне 150 – 200 Гц. Однако переход на оптимальную частоту связан с большими техническими сложностями и в ближайшее время не может быть осуществлен.

Среднее и действующее значения переменного тока и напряжения

Среднее значение Fср произвольной функции времени f(t) за интервал времени Т определяется по формуле :

Численно среднее значение Fср равно высоте прямоугольника, равновеликого по площади фигуре, ограниченной кривой f(t), осью t и пределами интегрирования 0 – Т (рис. 33).

Для синусоидальной функции среднее значение за полный период Т (или за целое число полных периодов) равно нулю, так как площади положительной и отрицательной полуволн этой функции равны. Для переменного синусоидального тока (напряжения) среднее значение определяют за половину периода (Т/2) между двумя нулевыми значениями (рис. 34) :

Векторные диаграммы переменных токов и напряжений

Из курса математики известно, что любую синусоидальную функцию времени, например i(t)=Imsin(wt+a), можно изобразить вращающимся вектором при соблюдении следующих условий :

  а) длина вектора в масштабе равна амплитуде функции Im ;

 б) начальное положение вектора при t = 0 определяется начальной фазой a ;

 в) вектор равномерно вращается с угловой скоростью w, равной угловой частоте функции.

Теоретические основы комплексного метода расчета цепей переменного тока

Из курса математики известно, что комплексное число Z может быть представлено в следующих трех формах: показательной, тригонометрической и алгебраической:

В основе перехода от одной формы комплексного числа к другой лежит известная из математики формула Эйлера : 

Здесь обозначены:

j =   – мнимое единичное число,

Z – модуль комплексного числа,

a - аргумент комплексного числа,

а – вещественная часть комплексного числа,

jb – мнимая часть комплексного числа.

Можно утверждать, что каждой точке (вектору) на комплексной плоскости соответствует пределенное комплексное число, и наоборот, каждому комплексному числу соответствует определенная точка (вектор) на комплексной плоскости.

Известно, что синусоидальную функцию можно изобразить вектором, а вектор в свою очередь можно представить комплексным числом. Таким образом, синусоидальные токи и напряжения, характеризующие установившийся режим цепи переменного тока, могут быть представлены комплексными числами :

 Û - комплексная амплитуда,

 

 Û - комплексное действующее значение. Здесь Û -знак соответствия.

При расчете цепей переменного тока возникает необходимость выполнения различного рода математических операций с синусоидальными функциями. При замене синусоидальных функций (оригиналов) комплексными числами (изображениями) соответствующие математические операции выполняются с комплексными числами.

Замена математических операций 2-го рода (дифференцирование, интегрирование) операциями 1-го рода (умножение, деление) существенно упрощает расчет цепей переменного тока в комплексной форме.

Современные инженерные калькуляторы в режиме «compl» позволяют выполнять все действия с комплексными числами непосредственно так же, как с обычными числами. При этом следует принять во внимание, что калькулятор выполняет действия над комплексными числами только в алгебраической форме  и результаты расчета выдает также в алгебраической форме. Если исходные комплексные числа заданы в показательной форме , то после их ввода необходимо выполнить операцию преобразования их в алгебраическую форму.

Комплексный метод расчета цепей переменного тока был разработан в 1910-1912гг. американским инженером Штейнметцом и сыграл большую роль в развитии теории электрических цепей переменного тока.

Количество энергии, которое преобразуется в приемнике в другие виды в единицу времени, называется активной мощностью P. Математически активная мощность может быть получена как среднее значение мгновенной мощности за период:

Реактивная мощность Q характеризует интенсивность обмена энергией между магнитным полем приемника и источником и определяется по формуле:

Реактивная мощность индуктивного характера  положительна, а емкостного характера   отрицательна. Противоположность знаков указывает на тот факт, что колебания энергии в разнородных элементах совершаются в противофазе.

Существует три типа идеальных схемных элементов: резистор R, катушка L и конденсатор C. Рассмотрим процессы в цепи с каждым из названных элементов в отдельности.

а) Цепь с идеальным резистором R.

Пусть к цепи с резистором R (рис. 41а) приложено переменное напряжение:

Цепь с идеальной катушкой L

Пусть к цепи с идеальной катушкой L (рис. 43а) приложено переменное напряжение:

Ток и напряжение на зажимах катушки связаны между собой физическим законом электромагнитной индукции , откуда следует:

,

  где  - индуктивное реактивное сопротивление катушки,

Уравнения закона Ома для амплитудных и действующих значений функций:

Угол сдвига фаз , т.е. в цепи с катушкой L ток отстает от напряжения (напряжение опережает ток) на угол .

Комплексное сопротивление катушки является чисто мнимым и положительн


Метод узловых и контурных уравнений