Вынужденные колебания Колебательная система

Лекции по физике 1 курс Колебания

Математический маятник

Одним из самых простых примеров гармонического колебания есть колебательное движение математического маятника. Математическим маятником называют материальную точку, подвешенную на невесомой и нерастяжимой нити, которая колеблется в вертикальной плоскости под действием силы тяжести. Когда система находится в покое, то сила тяжести уравновешивается силой натяжения нити . Если шарик отклонить на некоторый угол , то равнодействующая  силы натяжения и силы тяжести  пытается повернуть шарик в положение равновесия. Горизонтальная составляющая силы тяжести (возвращающая сила) равна

. (11.37)

Поскольку зависимость такой силы от угла  нелинейна, то колебания маятника не будут гармоническими. Для малых углов  можно записать, что

  (11.38)

(где  - горизонтальное смещение маятника от положения равновесия), и выражение для возвращающей силы будет иметь вид

,  (11.39)

где  - длина маятника. В этом случае сила  пропорциональна углу , потому колебания маятника можно считать гармоническими. Уравнение движения математического маятника имеет вид

.  (11.40)

 Знак «минус» указывает на то, что возвращающая сила направлена к положению равновесия, а смещение отчисляется от положения равновесия, потому знак ускорения противоположен знаку смещения.

Проводя аналогию между математическим и упругом маятниками, можно записать, что коэффициент жесткости, и период колебаний имеют следующий вид:

  и . (11.41)

Отсюда вытекает, что период колебаний математического маятника не зависит от амплитуды колебаний (для малых значений угла отклонений ) и массы маятника, а определяется его длиной и ускорением свободного падения тел в данном месте Земли.

Физический маятник Физическим маятником называют твердое тело, способное осуществлять колебания вокруг неподвижной горизонтальной оси, которая не проходит через центр масс этого тела.

Возможны случаи, когда тело принимает участие одновременно в нескольких колебательных движениях. Результирующее смещение тела, принимающего участие в нескольких колебательных движениях, равно геометрической сумме независимых смещений, которые тело получает в каждом колебательном движении в частности.

Рассмотрим случай сложения одинаково направленных колебаний с разными частотами, уравнения которых  и .  (11.61).

Сложение взаимно перпендикулярных колебаний Тело может также принимать участие в колебательных движениях, направления колебаний которых не совпадают.

Смещение точки в любой момент времени от положения равновесия находим из соотношения:   (11.75).

Фигуры Лиссажу занимают ограниченную область пространства, которой можно поставить в соответствие некоторый прямоугольник.

Центробежная сила инерции. Рассмотрим движение тела во вращающейся системе координат. Сначала рассмотрим вращение тела в неподвижной системе. В ней тело будет испытывать центростремительное ускорение, которое, и будет заставлять его вращаться. По третьему закону Ньютона центростремительной силе соответствует центробежная сила, приложенная к нити, удерживающей вращающееся тело. Во вращающейся системе координат тело покоится, но центростремительное ускорение по-прежнему отлично от нуля.
Математический маятник