Вынужденные колебания Колебательная система

Лекции по физике 1 курс Кинематика Преобразования Лоренца

Специальная теория относительности

Принцип относительности Галилея

 Сопоставим описания движения некоторой частицы  в инерциальных системах отсчета   и , движущихся друг относительно друга со скоростью . Для простоты выберем оси координат так, как показано на Рис. 12.1. Отсчет времени начинаем с момента, когда начала координат   и  совпадали. Тогда координаты   и  точки  будут связаны соотношением:

.  (12.1)

При сделанном выборе осей

  и . (12.2)

В ньютоновской механике предполагается, что время во всех системах отсчета течет одинаково, поэтому

. (12.3)

Таким образом получена совокупность 4 уравнений, называемых преобразованиями Галилея:

; ; . (12.4)

 Эти уравнения позволяют перейти от координат и времени одной инерциальной системы отсчета к координатам и времени другой инерциальной системы. Продифференцируем первое уравнение в преобразованиях Галилея по времени, учтя, что  (производная по  совпадает с производной по ). Имеем:

.  (12.5)

Производная  есть проекция скорости частицы  в системе  на ось  этой системы, а именно:

,  (12.6)

где  (проекция вектора на ось  совпадает с проекцией этого же вектора на ось). Продифференцируем второе и третье уравнения в преобразованиях Галилея:

,  (12.7)

т.е.

; (12.8)

далее

, (12.9)

т.е.

. (12.10)

Совокупность всех полученных уравнений для преобразований скорости можно представить одним  векторным уравнением:

 

.  (12.11)

Это уравнение можно рассматривать либо как форму преобразования скорости частицы от системы  к системе , либо как закон сложения скоростей: скорость частицы относительно системы  равна сумме скоростей частиц относительно системы   и скорости системы  относительно системы .

Величины, которые имеют одно и тоже числовое значение во всех системах отсчета, называются инвариантными.

Постоянство скорости света Справедливость преобразований Галилея может быть проверена сравнением следствий из них с экспериментом.

Преобразования Лоренца Так как преобразования Галилея для достаточно больших скоростей приводят к выводам, противоречащим экспериментам, то появилась необходимость в нахождении других преобразований координат и времени, которые правильно описывают опытные данные.

В силу равноправности систем  и , коэффициент  должен быть в обоих случаях один и тот же.

Для получения формул преобразования времени выполним над последними 2-мя уравнениями следующие процедуры: А) исключим координату  и разрешим получившееся уравнение относительно  Б) исключим координату  и разрешим получившееся уравнение относительно . Имеем для процедуры А):

.  (12.37).ъ

При скоростях много меньших скорости света () преобразования Лоренца практически не отличаются от преобразований Галилея.

События, происходящие одновременно в разных точках пространства (система ), в силу конечной скорости распространения взаимодействия, не могут оказывать взаимодействия друг на друга и. следовательно, быть причинно связанными.

Для орбитальной скорости Земли  лоренцево сокращение является причиной сокращения диаметра Земли в системе координат, связанной с Солнцем, примерно на .

В какой бы системе отсчета не рассматривалось движение частицы, промежуток собственного времени измеряется по часам системы, в которой частица покоится.

Итак, для преобразований Лоренца (т.е. для релятивистского случая движения со скоростями, близкими к скорости света в вакууме) известны три инварианта: 1. скорость света в вакууме, 2. промежуток собственного времени   и интервал между событиями .

Расстояние  между точками, в которых происходят события, разделенные пространственноподобным интервалом, превышает . Поэтому такие события не могут воздействовать друг на друга и, следовательно, не могут быть причинно связанными.

Преобразование и сложение скоростей Компоненты скорости  частицы в системе  определяются выражением:; . (12.69).

Пусть частица движется параллельно осям  и  в направлении скорости . Тогда  совпадает с модулем скорости частицы  в системе , а  - с модулем скорости  частицы в системе  и формула, определяющая  через  и  , будет иметь вид: .  (12.77).

Определим взаимосвязь компонентов  и  ускорений частицы в системах  и , соответственно.

Сила трения Наряду с силами тяготения и упругими силами существуют силы, обусловленные молекулярными взаимодействиями между соприкасающимися поверхностями тел и зависящие от их скоростей. Опыт показывает, что сила трения, действующая на тело, направлена в сторону, противоположную его скорости
Математический маятник