Формула Циолковского реактивное движение

Лекции по физике 1 курс Неинерциальные системы отсчета

Динамика твердого тела

Момент силы

 Опыт показывает, что при вращении какого-либо тела с помощью рычага существенным оказывается не только модуль силы, но и длина рычага. В связи с этим вводится понятие момента силы. Моментом силы  относительно точки  называется вектор:

, (10.1)

где  - радиус-вектор точки приложения силы (см. Рис. 10.1). Вектор  является аксиальным вектором. Модуль момента силы равен:

.  (10.2)

Величина , где  - угол между векторами  и , называется плечом силы относительно точки . [an error occurred while processing this directive]

 Для определения угла  радиус вектор  продолжается по линии своего действия так, чтобы вектора  и  исходили из одной точки. Угол между вектором  и продолжением вектора  и входит в указанную выше формулу. К продолжению вектора  и вектору  применяется правило правого винта (см. раздел «Вступление») и поступательное движение правого винта указывает на направление вектора   (см. Рис. 10.2). Проекция вектора  на произвольную ось , проходящую через точку , называется моментом силы относительно оси :

. (10.3) 

Момент силы относительно оси характеризует способность силы вращать тело вокруг этой оси.

При заданном  величина и направление зависят от выбора оси . Проекцию  можно выразить в виде:

   (10.4)

Обозначения (см. Рис. 3.2):  - составляющая силы, параллельная оси ;  - составляющая силы, коллинеарная вектору ;  - составляющая силы, перпендикулярная к плоскости, проходящей через ось и вектор . Величина  называется плечом силы  относительно оси . Справедлива теорема Вариньона: если система сил  имеет равнодействующую , то момент  относительно точки   (или относительно оси ) равен сумме моментов  составляющих сил относительно той же точки (или той же оси ):

   либо . (10.5)

Пара сил Парой сил называются две равные по модулю и противоположно направленные силы  и не действующие вдоль одной и той же прямой (см. Рис. 10.3.

Продифференцируем по времени вектор момента импульса.

Момент инерции Найдем момент импульса  частицы твердого тела относительно оси вращения , т.е. проекцию вектора  на эту.

Рассмотрим в качестве примера однородный прямой цилиндр и вычислим его момент инерции относительно геометрической оси  (см. Рис. 10.5).

Свойства моментов инерции Вычисление момента инерции во многих случаях можно упростить, используя соображения подобия и симметрии, теорему Гюйгенса-Штейнера,  также некоторые другие общие соображения, обозначенные ниже как следствие 1 и следствие 2.

Моменты инерции некоторых симметричных тел  Вычислим некоторые моменты инерции. Рассмотрим момент инерции тонкого однородного стержня относительно перпендикулярной ему оси.

Аналогичное соотношение справедливо и для плоского параллелепипеда, для которого ось  проходит через центр основания со сторонами   и

Рассмотрим момент инерции однородного сплошного цилиндра относительно поперечной оси.

Рассмотри момент инерции сплошного однородного шара. Сплошной шар можно рассмотреть как совокупность бесконечно тонких сферических слоев с массами  и текущим радиусом . Так как шар однороден, то

,  (10.79)/

Рассмотрим момент инерции трехосного эллипсоида. Пусть масса  равномерно распределена по объему эллипсоида с полуосями ,  и . Направления координатных осей , ,  совпадают с главными осями эллипсоида.

Энергетические характеристики вращательного движения Если тело вращается вокруг неподвижной оси с угловой скоростью , то элементарная масса , отстоящая от оси вращения на расстоянии , обладает линейной скоростью . Кинетическая энергия этой массы:

  (10.93).

Проведем анализ состава полученного уравнения. Первое слагаемое в правой части уравнения равно. Квадрат вектора равен квадрату его модуля, т.е.

,  (10.101).

Тензор инерции Будем считать, что тело состоит из отдельных материальных точек с массами . Закрепим тело в точке . Пусть  - радиус-векторы точек  относительно точки , а  - мгновенная угловая скорость тела, тогда скорость  точки: . Момент импульса всего тела относительно точки :

. (10.106).

Предположим, что все недиагональные элементы тензора равны нулю, а не равны нулю лишь диагональные элементы и, следовательно, тензор имеет вид:

.  (10.111).

Одним из основных понятий механики является понятие материальной точки, что означает тело, обладающее массой, размерами которого можно пренебречь при рассмотрении его движения. Движение материальной точки - простейшая задача механики, которая позволит рассмотреть более сложные типы движений.
Законы Кеплера