Примеры решения задач курсового расчета, контрольной работы по математике

Начертательная геометрия
  • Cборочные единицы
  • Обозначение материалов
  • Построение лекальных кривых
  • Примеры построения сопряжений
  • Выполнение чертежей деталей
  • Машиностроительное черчение
  • Позиционные задачи
  • Способ замены плоскостей проекции
  • Теория и синтез машин и механизмов
    Черчение выполнение чертежей
    Основы технической механики
    Примеры решения задач по математике
    Тройные и двойные интегралы
    Примеры курсового расчета
    Математика лекции и примеры решения задач
    Линейная и векторная алгебра
    Математический анализ
    Дифференцирование исчисление
    Интегральное исчисление
    Дифференциальные уравнения
    Примеры вычисления интегралов
    Вычисление длин дуг кривых
    Вычисление площадей в декартовых
    координатах
    Вычисление площадей фигур при
    параметрическом задании границы (контура)
    Площадь в полярных координатах 
    Вычисление объема тела
    Вычисление длин дуг плоских кривых,
    заданных в декартовых координатах

    Вычисление длин дуг кривых,
    заданных параметрически 

    Предел функции
    Производная функции
    Интегрирование тригонометрических выражений
    Задачи на вычисление интегралов
    Исследовать функцию
    Определенный и неопределенный интеграл
    Применение тройных интегралов
    Криволинейный интеграл
    Векторная функция
    Числовые ряды
    Степенные ряды
    Понятие функции
    комплексной переменной
    Операционное исчисление
    Интеграл Фурье
    Ряды Фурье
    Машиностроительное черчение
    Черчение в инженерной практике
    Оформление чертежа
    Техническая механика
  • Штриховка разрезов
  • Спецификация
  • Неметаллические материалы
  • Техника вычерчивания и обводка
  • Построение лекальных кривых
  • Основная надпись
  • Сопряжение
  • Форматы
  • Последовательность нанесения
    размеров
  • Проецируещие прямые
  • Позиционные задачи
  • Вращение плоскости
  • Информатика
    Основы Web технологий
    Общие принципы построения вычислительных
    сетей
    Основы передачи дискретных данных
    Базовые технологии локальных сетей
    Построение локальных сетей по стандартам
    физического и канального уровней
    Сетевой уровень как средство построения
    больших сетей
    Глобальные сети
    Средства анализа и управления сетями
    Сборник задач по физике
    Электротехника и электроника
    Электрический ток
    Законы Ома и Кирхгофа
    Кинематика материальной точки
    Основные представления
    об электричестве
    Электромагнитные волны
    Физическая оптика
    Ядерная физика
    Физика элементарных частиц
    Строение атомных ядер
    Законы теплового излучения
    Классическая физика
    Энеpгия движения тел с неподвижной осью
    Постулаты теоpии относительности
    Теpмодинамические системы
    Курс лекций по химии
    Атомная энергетика
    Повышение безопасности атомной станции
    Ядерные реакторы
    Основы ядерной физики
    Использование атомной энергетики
    для решения проблем дефицита пресной воды
    Проектирование и строительство
    атомных энергоблоков
    Юбилей Атомной энергетики

    Атомная Энергетика России Аварии и инциденты Экология Кольская АЭС Ленинградская АЭС Билибинская АЭС Курская АЭС

    Ядерные реакторы технология
    Реаторы третьего поколения ВВЭР-1500

    Интегрирование рациональных выражений тригонометрических функций Интегрирование любого рационального выражения тригонометрических функций можно всегда свести к интегрированию алгебраической рациональной функции используя универсальную тригонометрическую подстановку x = 2arctg t (или ).

    Вычислить интеграл

    Вычислить интеграл

    Вычислить интеграл

    Найти интеграл

    В данной секции мы рассмотрим вычисление интегралов вида , где R - рациональная функция x и квадратного корня . Предварительно преобразуем квадратичную функцию под знаком корня, выделив в ней полный квадрат:

    Вычислить интеграл .

    Вычислить интеграл .

    Вычислить интеграл .

    Найти интеграл .

    Найти интеграл .

    Интегрирование рациональных функций

    Вычислить интеграл . . . .

    В данном разделе мы рассмотрим 8 специальных классов интегралов от тригонометрических функций . Для каждого класса применяются определенные преобразования и подстановки, позволяющие получить аналитическое решение.

    Интегрированиенекоторых классов тригонометрических функций

    Найти интеграл . . .

    Повторные интегралы Области интегрирования I и II типа Двойные интегралы вычисляются, как правило, с помощью повторных интегралов. Однако переход от двойных к повторным интегралам возможен не для произвольной области интегрирования R, а для областей определенного типа.

    Найти повторный интеграл . Вычислить .

    Изменить порядок интегрирования в повторном интеграле .

    Криволинейные интегралы первого рода

    Найти интеграл вдоль отрезка прямой y = x от начала координат до точки (2,2)

    Вычислить интеграл , где C − кривая, заданная уравнением .

    Вычислить интеграл , где кривая C задана параметрически в виде .

    Найти криволинейный интеграл , где кривая C является дугой эллипса , лежащей в первом

    Криволинейные интегралы второго рода

    Вычислить интеграл , где кривая C задана параметрически в виде .

    Вычислить вдоль кривой от точки O (0,0) до A (1,1)

    Вычислить криволинейный интеграл вдоль кривой в интервале

    Вычислить криволинейный интеграл , где C − дуга эллипса (рисунок 6), заданного параметрически в виде .

    Теорема Остроградского-Гаусса

    Применяя теорему Остроградского-Гаусса, вычислить поверхностный интеграл от векторного поля , где S − поверхность тела, образованного цилиндром и плоскостями z = −1, z = 1

    Используя формулу Остроградского-Гаусса, оценить поверхностный интеграл от векторного поля , где S − поверхность тела, ограниченного и плоскостью z = 1.

    Вычислить поверхностный интеграл от векторного поля , где S − поверхность параллелепипеда, образованного плоскостями x = 0, x = 1, y = 0, y = 2, z = 0, z = 3

    Независимость криволинейных интегралов от пути интегрирования

    Вычислить криволинейный интеграл для двух путей интегрирования: 1) AB − отрезок прямой от точки A (0,0) до точки B (1,1); 2) AB − участок параболы от A (0,0) до B (1,1).

    Показать, что криволинейный интеграл , где точки A, B имеют координаты A (1,2), B (4,5), не зависит от пути интегрирования, и найти значение этого интеграла.

    Определить, является ли векторное поле потенциальным?

    Определить, является ли потенциальным векторное поле ?

    Физические приложения двойных интегралов

    Определить координаты центра тяжести однородной пластины, образованной параболами и .

    Вычислить моменты инерции треугольника, ограниченного прямыми и имеющего плотность .

    Физические приложения криволинейных интегралов

    С помощью криволинейных интегралов вычисляются

    Работа поля

    Определить массу проволоки, имеющей форму отрезка от точки A(1,1) до B(2,4). Масса распределена вдоль отрезка с плотностью .

    Определить массу проволоки, имеющей форму дуги окружности от точки A(1,0) до B(0,1) с плотностью

    Найти центр масс проволоки, имеющей форму кардиоиды

    Вычислить момент инерции Ix проволоки в форме окружности x2 + y2 = a2 с плотностью ρ = 1.

    Тело массой m брошено под углом к горизонту α с начальной скоростью v0. Вычислить работу силы притяжения за время движения тела до момента соударения с землей.

    Вычислить индукцию магнитного поля в вакууме на расстоянии r от оси бесконечно длинного проводника с током

    Физические приложения поверхностных интегралов

    Поверхностные интегралы применяются во многих прикладных расчетах. В частности, с их помощью вычисляются

    • Масса оболочки;
    • Центр масс и моменты инерции оболочки;
    • Сила притяжения и сила давления;
    • Поток жидкости и вещества через поверхность;
    • Электрический заряд, распределенный по поверхности;
    • Электрические поля (теорема Гаусса в электростатике).

    Сила притяжения между поверхностью S и точечным телом m определяется выражением

    Найти массу цилиндрической оболочки, заданной параметрически в виде , где

    Найти массу параболической оболочки, заданной уравнением и имеющей плотность .

    Найти центр масс части сферической оболочки , расположенной в первом октанте и имеющей постоянную плотность μ0.

    Вычислить момент инерции однородной сферической оболочки x2 + y2 + z2 = 1 (z ≥ 0) с плотностью μ0 относительно оси Oz.

    Найти силу притяжения между полусферой с постоянной плотностью μ0 радиусом r с центром в начале координат и точечной массой m, расположенной в начале координат.

    Оценить силу давления, действующую на дамбу, схематически показанную на рисунке 6 и представляющую собой резервуар воды шириной W и высотой H.

    Физические приложения тройных интегралов

    Найти центроид однородного полушара радиусом R.

    Определить массу и координаты центра тяжести единичного куба с плотностью ρ(x,y,z) = x + 2y + 3z

    Найти массу шара радиуса R, плотность γ которого пропорциональна квадрату расстояния от центра.

    С какой силой притягивает однородный шар массы M материальную точку массы m, расположенную на расстоянии a от центра шара (a > R)?

    Пусть планета имеет радиус R, а ее плотность выражается зависимостью

    Теорема Стокса

    Показать, что криволинейный интеграл равен 0 вдоль любого замкнутого контура C.

    Используя теорему Стокса, найти криволинейный интеграл .

    Вычислить криволинейный интеграл , используя теорему Стокса.

    Найти интеграл с использованием теоремы Стокса

    Поверхностные интегралы первого рода

    Вычислить поверхностный интеграл , где S − часть плоскости , лежащая в первом октанте

    Вычислить интеграл , где S представляет собой полную поверхность конуса .

    Вычислить интеграл , где S − часть конуса внутри поверхности .

    Найти интеграл , где поверхность S − часть сферы , лежащая в первом октанте.

    Вычислить интеграл . Поверхность S задана параметрически в виде.

    Поверхностные интегралы второго рода Если поверхность S задана явно в виде уравнения z = z(x,y), где z(x,y) − дифференцируемая функция в области D(x,y), то поверхностный интеграл второго рода от векторного поля по поверхности S записывается в одной из следующих форм

    Вычислить поверхностный интеграл от векторного поля по внутренне ориентированной поверхности S, заданной уравнением , где .

    Оценить поток векторного поля через коническую поверхность , ориентированную внешней стороной.

    Оценить поток векторного поля через внутреннюю сторону единичной сферы .

    Вычислить интеграл , где S − часть внутренней поверхности эллипсоида, заданного параметрически в виде .

    Найти интеграл , где S − внутренняя поверхность сферы .

    Тройные интегралы в декартовых координатах

    Вычислить интеграл

    Вычислить тройной интеграл где область U ограничена поверхностями

    Выразить тройной интеграл через повторные интегралы шестью различными способами.

    Тройные интегралы в цилиндрических координатах

    Вычислить интеграл где область U ограничена поверхностью x2 + y2 ≤ 1 и плоскостями z = 0, z = 1

    Вычислить интеграл где область U ограничена поверхностями x2 + y2 = 3z, z = 3

    Используя цилиндрические координаты, найти значение интеграла

    Вычислить интеграл, используя цилиндрические координаты:

    Найти интеграл где область U ограничена плоскостями z = x + 1, z = 0 и цилиндрическими поверхностями x2 + y2 = 1, x2 + y2 = 4

    Тройные интегралы в сферических координатах

    Найти интеграл , где область интегрирования U − шар, заданный уравнением x2 + y2 + z2 = 25.

    Вычислить интеграл xyzdxdydz, где область U представляет собой часть шара x2 + y2 + z2R2, расположенную в первом октанте x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0.

    Найти тройной интеграл где область U ограничена эллипсоидом

    Вычислить интеграл используя сферические координаты

    Определение производной

    Рассмотрим функцию f(x), область определения которой содержит некоторый открытый интервал вокруг точки x0. Тогда функция f(x) является дифференцируемой в точке x0, и ее производная определяется формулой

    Найти производную функции .

    Производная показательной и логарифмической функции

    Предполагается, что основание a показательной и логарифмической функции больше нуля и не равно единице: a > 0, a ≠ 1. Производная показательной функции y = ax с основанием a определяется формулой

    где ln a - натуральный логарифм a, т.е. логарифм a по основанию е

    Вычислить производную функции

    Производные гиперболических функций легко находятся, поскольку гиперболические функции являются комбинациями ex и e−x.

    Вычислить производную функции .

    Производная степенной функции

    Вычислить производную функции .

    Вычислить производную функции .

    Производная произведения и частного функций

    Вычислить производную y(x)=tg x используя формулу производного частного.

    Производные шести тригонометрических функций и, соответственно, шести обратных тригонометрических функций определяются следующими формулами (рядом указана область определения каждой функции)

    Продифференцировать функцию .

    Вывести формулу для производной арксинуса.

    Дифференцирование и интегрирование степенных рядов

    Найти разложение в степенной ряд для рациональной дроби .

    Найти представление в виде степенного ряда функции .

    Разложить в степенной ряд экспоненциальную функцию e x.

    Производная суммы равна сумме производных

    Производная произведения функций

    Производная частного функций

    Найти производную функции

    Определение производной

    Задача вычисления скорости прямолинейного движения точки. Пусть материальная точка движется по прямой, причём закон движения точки задаётся уравнением S=f(t),  где S есть путь, пройденный точкой от момента начала движения до момента времени t. Предположим вначале, что точка движется равномерно, т.е. за равные отрезки времени проходит равные отрезки пути.

    Задачи, приводящие к понятию производной Рассмотрим пример. Вычислим мгновенную скорость материальной точки, свободно падающей под действием силы тяжести.

    Механический и геометрический смысл производной. Уравнения нормали и касательной к графику функции.

    Примеры вычисления производной

    Понятие дифференцируемости функции

    Связь между дифференцируемостью и непрерывностью функции.

    Геометрический смысл дифференциала Пусть функция y=f(x) дифференцируема в точке x0 и принимает в этой точке значение y0= f(x0). Рассмотрим график этой функции

    Пример. Найти производную функции  y = x5. Найти производную функции y=sin x.

    Производная обратной функции

    Производная сложной функции

    Рассмотрим примеры вычисления производной сложной функции. Найти производную функции . Найти производную функции .

    Рассмотрим несколько примеров применения основных правил вычисления производной. Пример . Найти производную функции .

    Логарифмическое дифференцирование

    Односторонние производные

    Производные высших порядков

    Свойства дифференцируемых функций Возрастание и убывание функции в точке и на интервале

    Локальный максимум и локальный минимум функции

    Теорема Ролля Теорема Лагранжа

    Теорема Коши Следующую теорему можно рассматривать как обобщение теоремы Лагранжа.

    Условие постоянства функции на интервале

    Условия монотонности функции на интервале Рассмотрим сначала достаточные условия строгой монотонности функции на интервале.

    Отыскание точек локального экстремума функции Как следует из теоремы 17.1, производная дифференцируемой функции в точке локального экстремума этой функции равна нулю. Поэтому функция, дифференцируемая на некотором интервале, может иметь на этом интервале локальный экстремум только в тех точках, где её производная равна нулю. Такие точки, т.е. точки, в которых производная функции равна нулю, называются точками возможного экстремума или стационарными точками

    Исследование функций с помощью производных Рассмотрим примеры нахождения локальных экстремумов с помощью производной.

    Отыскание наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке Направление выпуклости графика функции. Точки перегиба

    Асимптоты графика функции

    Найти асимптоты графика функции .