Производная произведения и частного функций
Пример Вычислить производную y(x)=tg x используя формулу производного частного.
Решение. Запишем тангенс в виде. Тогда
Поскольку
, производная равна
![]()
Пример Пусть
Решение. Представим функцию в виде y(x)=sinxsinx. По формуле производной произведения. Продифференцировать данную функцию, не используя производную сложной функции.
Так как
, получаем
![]()
Пример Найти формулу для производной произведения трех функций.
Решение. Пусть. Предварительно сгруппировав, применим формулу производной произведения двух функций:
Поскольку
, получаем
![]()
Вычисление площади поверхности.
Пусть требуется вычислить площадь поверхности, ограниченной линией Г (рис.20); поверхность задана уравнением
где функция
непрерывна и имеет непрерывные частные производные. Обозначим проекцию линии Г на плоскость Oxy через L. Область на плоскости Oxy, ограниченную линией L, обозначим D.
Разобьём произвольным образом область D на n элементарных площадок
В каждой площадке
возьмём точку
Точке Pi будет соответствовать на поверхности точка
Через точку Mi проведём касательную плоскость к поверхности. Уравнение её примет вид
(1)
На этой плоскости выделим такую площадку
, которая проектируется на плоскость Оху в виде площадки
. Рассмотрим сумму всех площадок
Предел
этой суммы, когда наибольший из диаметров площадок
- стремится к нулю, мы будем называть площадью поверхности, т. е. по определению положим
(2)
Займемся теперь вычислением площади поверхности. Обозначим через
угол между касательной плоскостью и плоскостью Оху.
Рис.20 Рис.21
На основании известной формулы аналитической геометрии можно написать (рис.21)
или
(3)
Угол
есть в то же время угол между осью Oz и перпендикуляром к плоскости (1). Поэтому на основании уравнения (1) и формулы аналитической геометрии имеем
Следовательно,
![]()
Подставляя это выражение в формулу (2), получим
Так как предел интегральной суммы, стоящей в правой части последнего равенства, по определению представляет собой двойной интеграл
то окончательно получаем
(4)
Это и есть формула, по которой вычисляется площадь поверхности
![]()
Если уравнение поверхности дано в виде
или в виде
то соответствующие формулы для вычисления поверхности имеют вид
(3’)
(3’’)
где D’ и D’’ - области на плоскостях Oyz и Oxz, в которые проектируется данная поверхность.