Примеры решения задач курсового расчета, контрольной работы по математике

Производная произведения и частного функций

Пример Вычислить производную y(x)=tg x используя формулу производного частного.

Решение. Запишем тангенс в виде . Тогда Поскольку , производная равна

Пример Пусть . Продифференцировать данную функцию, не используя производную сложной функции.

Решение. Представим функцию в виде y(x)=sinxsinx. По формуле производной произведения Так как , получаем

Пример Найти формулу для производной произведения трех функций.

Решение. Пусть . Предварительно сгруппировав, применим формулу производной произведения двух функций: Поскольку , получаем

Вычисление площади поверхности.

Пусть требуется вычислить площадь поверхности, ограниченной линией Г (рис.20); поверхность задана уравнением  где функция  непрерывна и имеет непрерывные частные производные. Обозначим проекцию линии Г на плоскость Oxy через L. Область на плоскости Oxy, ограниченную линией L, обозначим D.

Разобьём произвольным образом область D на n элементарных площадок В каждой площадке  возьмём точку  Точке Pi будет соответствовать на поверхности точка  Через точку Mi проведём касательную плоскость к поверхности. Уравнение её примет вид

  (1)

На этой плоскости выделим такую пло­щадку , которая проектируется на плоскость Оху в виде площадки . Рассмотрим сумму всех площадок

Предел   этой суммы, когда наибольший из диаметров пло­щадок - стремится к нулю, мы будем называть площадью по­верхности, т. е. по определению положим

  (2)

Займемся теперь вычислением площади поверхности. Обозна­чим через   угол между касательной плоскостью и плоскостью Оху.

  Рис.20 Рис.21

На основании известной формулы аналитической геометрии можно написать (рис.21)

или

  (3)

Угол  есть в то же время угол между осью Oz и перпендикуляром к плоскости (1). Поэтому на основании уравнения (1) и формулы аналитической геометрии имеем

  Следовательно,

 

Подставляя это выражение в формулу (2), получим

Так как предел интегральной суммы, стоящей в правой части последнего равенства, по определению представляет собой двойной интеграл  то окончательно получаем

  (4)

Это и есть формула, по которой вычисляется площадь поверхности  

Если уравнение поверхности дано в виде  или в виде  то соответствующие формулы для вычисления поверхности имеют вид

 (3’)

  (3’’)

где D’ и D’’ - области на плоскостях Oyz и Oxz, в которые проектируется данная поверхность.