Изменить порядок интегрирования в повторном интеграле Криволинейные интегралы второго рода Физические приложения поверхностных интегралов Вычислить поверхностный интеграл Вычислить тройной интеграл

Примеры решения задач курсового расчета, контрольной работы по математике

Задачи, приводящие к понятию производной

Рассмотрим пример. Вычислим мгновенную скорость материальной точки, свободно падающей под действием силы тяжести. Из механики известно, что закон движения этой точки задаётся уравнением  S=gt2/2. Поэтому путь ∆S, пройденный точкой за промежуток времени от t до t+∆t, равен

 ∆S= - = gt ∆t + (∆t)2

Средняя скорость за промежуток ∆t равна

 vср = = gt + ∆t,

а мгновенная скорость в момент t равна

  v =  = gt.

Задача о проведении касательной к кривой.

Пусть дана некоторая кривая и точка на ней. Рассмотрим понятие касательной к кривой в данной точке. В школьном курсе элементарной геометрии вводится понятие касательной к окружности – касательная определяется как прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку. Но в общем случае – когда рассматривается произвольная кривая – это определение непригодно. Возьмём в качестве примера параболу y=x2. В точке O начала координат обе координатные оси подходят под это определение, хотя интуитивному представлению о касательной в этой точке соответствует только ось x (см. рис.1). Другим примером может служить прямая y=1, которая имеет с синусоидой  бесконечно много точек касания (см. рис.2).

  Дадим общее определение касательной. Возьмём на непрерывной кривой L две точки – точку M, в которой мы хотим провести касательную к этой кривой, и точку M1. Проведём секущую MM1. Когда точка M1 будет перемещаться вдоль по кривой, приближаясь к точке M, секущая будет вращаться вокруг точки M.

Касательной к кривой L в точке M называется предельное положение MT секущей MM1, когда точка M1, двигаясь вдоль по кривой, стремится к совпадению с точкой M (см. рис.3).


Предположим теперь, что кривая L является графиком непрерывной функции y=f(x). Найдём угловой коэффициент касательной к кривой L в точке M , т.е. tg α, где α – угол наклона касательной к оси x. Будем считать, что , т.е. касательная не параллельна оси y. Пусть точка M имеет координаты (x0, y0), а точка M1 – координаты (x0+∆x, y0+∆y). Обозначим через φ угол наклона секущей MM1 к оси x. Тогда угловой коэффициент секущей

 Kсек = tg φ =

Устремим теперь ∆x к нулю. Так как функция y=f(x) непрерывна, то и ∆y→0, а, значит, и расстояние между точками M и M1 ρ(MM1)=→0.  Это значит, что точка M1 стремится к совпадению с точкой M. Предположим, что существует предел

 =k

Так как φ=arctg, то в силу непрерывности функции y=arctg(x)

 φ =( arctg) = arctg() = arctg(k)

Это значит, что при стремлении точки M1 к точке M секущая MM1 стремится занять предельное положение с углом наклона  φ= arctg(k). Это предельное положение и является по определению касательной к кривой L в точке M. Итак, угол наклона касательной к оси x α = arctg(k).

Отсюда  tg α=k=

Теперь мы можем определить понятие производной.


Дифференцирование и интегрирование степенных рядов