Принимаем заказы на выполнение контрольных, курсовых, дипломных работ

Сервис для выполнения любых видов студенческих работ

Сервис для выполнения любых видов студенческих работ

 

Народная медицина

Соблазн возбуждающая  жвачка

Соблазн возбуждающая жвачка

 

KupiVip – крупнейший онлайн-магазин

Выполнение 
работ на заказ. Контрольные, курсовые и дипломные работы

Выполнение работ на заказ. Контрольные, курсовые и дипломные работы

Renoven - антиварикозный   бальзам

Renoven - антиварикозный бальзам

ШефМаркет. Доставка продуктов с рецептами

Уборка   квартир в Москве

Уборка квартир в Москве

Дизайнерская мебель

Заказ и доставка билетов

Заказ и доставка билетов

 Академия Моды и Стиля

Академия Моды и Стиля

 

Интернет-магазин Olympus

Интернет-магазин Olympus<

Изменить порядок интегрирования в повторном интеграле Криволинейные интегралы второго рода Физические приложения поверхностных интегралов Вычислить поверхностный интеграл Вычислить тройной интеграл

Примеры решения задач курсового расчета, контрольной работы по математике

Задачи, приводящие к понятию производной

Рассмотрим пример. Вычислим мгновенную скорость материальной точки, свободно падающей под действием силы тяжести. Из механики известно, что закон движения этой точки задаётся уравнением  S=gt2/2. Поэтому путь ∆S, пройденный точкой за промежуток времени от t до t+∆t, равен

 ∆S= - = gt ∆t + (∆t)2

Средняя скорость за промежуток ∆t равна

 vср = = gt + ∆t,

а мгновенная скорость в момент t равна

  v =  = gt.

Задача о проведении касательной к кривой.

Пусть дана некоторая кривая и точка на ней. Рассмотрим понятие касательной к кривой в данной точке. В школьном курсе элементарной геометрии вводится понятие касательной к окружности – касательная определяется как прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку. Но в общем случае – когда рассматривается произвольная кривая – это определение непригодно. Возьмём в качестве примера параболу y=x2. В точке O начала координат обе координатные оси подходят под это определение, хотя интуитивному представлению о касательной в этой точке соответствует только ось x (см. рис.1). Другим примером может служить прямая y=1, которая имеет с синусоидой  бесконечно много точек касания (см. рис.2).

  Дадим общее определение касательной. Возьмём на непрерывной кривой L две точки – точку M, в которой мы хотим провести касательную к этой кривой, и точку M1. Проведём секущую MM1. Когда точка M1 будет перемещаться вдоль по кривой, приближаясь к точке M, секущая будет вращаться вокруг точки M.

Касательной к кривой L в точке M называется предельное положение MT секущей MM1, когда точка M1, двигаясь вдоль по кривой, стремится к совпадению с точкой M (см. рис.3).


Предположим теперь, что кривая L является графиком непрерывной функции y=f(x). Найдём угловой коэффициент касательной к кривой L в точке M , т.е. tg α, где α – угол наклона касательной к оси x. Будем считать, что , т.е. касательная не параллельна оси y. Пусть точка M имеет координаты (x0, y0), а точка M1 – координаты (x0+∆x, y0+∆y). Обозначим через φ угол наклона секущей MM1 к оси x. Тогда угловой коэффициент секущей

 Kсек = tg φ =

Устремим теперь ∆x к нулю. Так как функция y=f(x) непрерывна, то и ∆y→0, а, значит, и расстояние между точками M и M1 ρ(MM1)=→0.  Это значит, что точка M1 стремится к совпадению с точкой M. Предположим, что существует предел

 =k

Так как φ=arctg, то в силу непрерывности функции y=arctg(x)

 φ =( arctg) = arctg() = arctg(k)

Это значит, что при стремлении точки M1 к точке M секущая MM1 стремится занять предельное положение с углом наклона  φ= arctg(k). Это предельное положение и является по определению касательной к кривой L в точке M. Итак, угол наклона касательной к оси x α = arctg(k).

Отсюда  tg α=k=

Теперь мы можем определить понятие производной.


Дифференцирование и интегрирование степенных рядов