Изменить порядок интегрирования в повторном интеграле Криволинейные интегралы второго рода Физические приложения поверхностных интегралов Вычислить поверхностный интеграл Вычислить тройной интеграл

Примеры решения задач курсового расчета, контрольной работы по математике

Механический и геометрический смысл производной.

 Уравнения нормали и касательной к графику функции.

Как было показано в § 1, мгновенная скорость точки есть

 v=.

Но это означает, что скорость v есть производная от пройденного пути S по времени t,

 v=.  Таким образом, если функция y=f(x) описывает закон прямолинейного движения материальной точки, где y есть путь, пройденный материальной точкой от момента начала движения до момента времени x, то производная (x) определяет мгновенную скорость точки в момент времени x. В этом и заключается механический смысл производной.

В § 1 был найден также угловой коэффициент касательной к графику функции y=f(x) k=tg α= . Это соотношение означает, что угловой коэффициент касательной равен производной (x). Говоря более строго, производная (x) функции y=f(x), вычисленная при значении аргумента, равном x, равна угловому коэффициенту касательной к графику этой функции в точке, абсцисса которой равна x. В этом состоит геометрический смысл производной. [an error occurred while processing this directive]

Пусть при x=x0 функция y=f(x) принимает значение y0= f(x0), и график этой функции имеет касательную в точке с координатами (x0;y0). Тогда угловой коэффициент касательной

 k = (x0). Используя известное из курса аналитической геометрии уравнение прямой, проходящей через заданную точку в заданном направлении ( y-y0 = k(x-x0) ), запишем уравнение касательной:

 .

Прямая, проходящая через точку касания перпендикулярно касательной, называется нормалью к кривой. Так как нормаль перпендикулярна касательной, то её угловой коэффициент kнорм связан с угловым коэффициентом касательной k известным из аналитической геометрии соотношением: kнорм = ─,  т.е. для нормали, проходящей через точку с координатами (x0;y0), kнорм = ─. Следовательно, уравнение этой нормали имеет вид:

  (при условии, что ).


Дифференцирование и интегрирование степенных рядов