Изменить порядок интегрирования в повторном интеграле Криволинейные интегралы второго рода Физические приложения поверхностных интегралов Вычислить поверхностный интеграл Вычислить тройной интеграл

Примеры решения задач курсового расчета, контрольной работы по математике

Понятие дифференцируемости функции.

 Дифференциал.

Пусть, как и раньше, функция y=f(x) определена на интервале (a;b). Рассмотрим значение аргумента x0 a;b). Дадим аргументу приращение ∆x0, так чтобы выполнялось условие (x0+∆x)a;b). При этом функция получит приращение ∆y= f(x+∆x) ─ f(x).

Функция y=f(x) называется дифференцируемой в точке x0, если её приращение в этой точке можно представить в виде

 ∆y=A ∆x + o(∆x),

где  A - некоторая постоянная, а o(∆x) – величина более высокого порядка малости, чем ∆x, т.е.  = 0. Выражение A ∆x называется дифференциалом функции f(x) в точке x0, соответствующим приращению аргумента ∆x, и обозначается  символом dy или df(x0). При этом приращение независимой переменной ∆x называется дифференциалом аргумента и обозначается символом dx. В соответствии с этими обозначениями можно записать: dy = A dx. Если A≠0, то при ∆ x→0 второе слагаемое, т.е. o(∆x), является величиной более высокого порядка малости, чем первое слагаемое (A ∆x). При этом приращение функции ∆y определяется, главным образом, первым слагаемым, т.е. дифференциалом. Поэтому дифференциал называют главной частью приращения функции.

Связь между дифференцируемостью функции и существованием производной.

Докажем теорему, устанавливающую связь между дифференцируемостью функции и существованием у этой функции производной.

Теорема 6.1. Для того чтобы функция y=f(x) имела в произвольной точке x0 конечную производную, необходимо и достаточно, чтобы она была дифференцируема в этой точке.

Докажем необходимость. Предположим, что функция y=f(x) имеет в точке x0 конечную производную, т.е.  = (x0). Это значит, что при ∆x→0 (x0), или [(x0)] →0. Обозначим эту разность через  = (x0).

Тогда   =(x0) +, ∆y =(x0) ∆ x +∆ x, где →0 при ∆ x→0, т.е.  = 0. Обозначим (x0) через A. Тогда ∆y = A ∆ x + ∆ x. Докажем, что ∆ x есть o(∆x). Действительно,  .

Итак, ∆y = A ∆ x + o(∆x), т.е. функция y=f(x) дифференцируема в точке x0.

Докажем достаточность. Пусть функция y=f(x) дифференцируема в точке x0. Тогда в этой точке  ∆y = A ∆ x + o(∆x),   = A + .

(x0) =  = A +  = A + 0 = A, т.е. функция y=f(x) имеет в точке x0 конечную производную, равную A.

Таким образом, мы доказали, что если функция имеет в некоторой точке конечную производную, то она и дифференцируема в этой точке, и наоборот, если она дифференцируема, то она имеет конечную производную. Поэтому мы имеем право отождествить понятие дифференцируемости функции в данной точке с понятием существования у функции в данной точке производной.

В ходе доказательства теоремы 6.1 мы выяснили, что постоянная A в выражении для приращения ∆y  дифференцируемой функции y=f(x) в некоторой точке x совпадает с производной функции в этой точке (x): A = (x). В параграфе 5 мы установили соотношение между дифференциалом функции и дифференциалом независимого аргумента: dy = A dx.  Теперь это соотношение можно переписать в виде dy =(x) dx.

В ходе доказательства этой теоремы мы установили ещё и то, что приращение дифференцируемой функции можно представить в виде

∆y =(x0) ∆ x +∆ x, где →0 при ∆ x→0.


Дифференцирование и интегрирование степенных рядов