Изменить порядок интегрирования в повторном интеграле Криволинейные интегралы второго рода Физические приложения поверхностных интегралов Вычислить поверхностный интеграл Вычислить тройной интеграл

Примеры решения задач курсового расчета, контрольной работы по математике

Пример. Найти производную функции y = x5.

По формуле для производной степенной функции при  находим

= 5.

Пример. Найти производную функции y =.

Перепишем выражение для y в виде .

По формуле для производной степенной функции при  находим

  Основные правила вычисления производных.

Теорема 10.1. Пусть функция u=φ(x)  имеет в данной точке x0 производную .  Тогда функция y = c∙u имеет в точке x0 производную .

Здесь c – произвольная постоянная.

Доказательство.  Дадим аргументу x приращение ∆ x. Тогда

∆ y = y(x0+∆ x) ─ y(x0) = c∙ φ(x0+∆ x) ─ c∙ φ(x0) = c∙[φ(x0+∆ x) ─ φ(x0)] = c∙∆φ.

Теорема доказана.

Теорема 10.2. Пусть функции u(x) и v(x) имеют в данной точке  x0 производные. Тогда в этой же точке имеют производные и функции u(x) + v(x),  u(x) ─ v(x),

 u(x) ∙ v(x), а также (если v(x0)≠0) функция  ,

 причём (.

Доказательство. Пусть f(x) = u(x) + v(x). Тогда  ∆ f = f(x0+∆ x) ─ f(x0) =

= u(x0+∆ x) ─ u(x0) + v(x0+∆ x) ─ v(x0).

(x0) =  = + =. Таким образом, .

Совершенно аналогично доказывается, что .

Пусть теперь f(x) = u(x) ∙ v(x).  Тогда

∆ f = f(x0+∆ x) ─ f(x0) = u(x0+∆ x) ∙ v(x0+∆ x) ─ u(x0) ∙ v(x0).

Введём для удобства обозначения:  ∆u = u(x0+∆ x) ─ u(x0), ∆v = v(x0+∆ x) ─ v(x0),

u = u(x0), v = v(x0). Тогда u(x0+∆ x) = u + ∆u, v(x0+∆ x) = v + ∆v,

∆f = (u + ∆u) ∙ (v + ∆v) ─ u ∙ v = ∆u ∙ (v + ∆v) + u ∙ ∆v.

Так как функция v(x) дифференцируема (имеет производную) в точке x0, то она непрерывна в этой точке. Следовательно, при ∆ x→0 и ∆ v→0. Поэтому

 = ∙ v + u ∙ + ∆ v =

=.  Таким образом, .

Пусть далее f(x) =. Тогда

∆ f ==  (здесь обозначения u, v, ∆u, ∆v имеют тот же смысл, что и выше).

  = . Так как ∆ v = 0, то

= =. Таким образом, .

Теорема доказана.


Дифференцирование и интегрирование степенных рядов