Примеры решения задач курсового расчета, контрольной работы по математике

Производная обратной функции.

Справедлива следующая теорема.  Пусть функция y=f(x) строго монотонна (т.е. является либо возрастающей, либо убывающей) и непрерывна на интервале (a;b) и в точке x0 из этого интервала имеет отличную от нуля производную (x0). Тогда на множестве значений этой функции, соответствующем интервалу (a;b), определена непрерывная обратная функция x=φ(y), которая в точке y0= f(x0) имеет производную  , причём .

Пример. Функция y = sin x удовлетворяет условиям последней теоремы на интервале  и всюду на этом интервале имеет отличную от нуля производную:  . Поэтому на соответствующем интервале значений этой функции () определена и дифференцируема обратная функция

  x = arcsin y, причём .

Здесь перед корнем взят знак плюс, так как на интервале  функция  положительна. Итак, , или, если аргумент y обозначить

 через  x, .