Примеры решения задач курсового расчета, контрольной работы по математике

Производная обратной функции.
Справедлива следующая теорема. Пусть функция y=f(x) строго монотонна (т.е. является либо возрастающей, либо убывающей) и непрерывна на интервале (a;b) и в точке x0 из этого интервала имеет отличную от нуля производную (x0). Тогда на множестве значений этой функции, соответствующем интервалу (a;b), определена непрерывная обратная функция x=φ(y), которая в точке y0= f(x0) имеет производную , причём .
Пример. Функция y = sin x удовлетворяет условиям последней теоремы на интервале и всюду на этом интервале имеет отличную от нуля производную: . Поэтому на соответствующем интервале значений этой функции () определена и дифференцируема обратная функция
x = arcsin y, причём .
Здесь перед корнем взят знак плюс, так как на интервале функция положительна. Итак, , или, если аргумент y обозначить
через x, .

Дифференцирование и интегрирование степенных рядов