Производная обратной функции.
Справедлива следующая теорема. Пусть функция y=f(x) строго монотонна (т.е. является либо возрастающей, либо убывающей) и непрерывна на интервале (a;b) и в точке x0 из этого интервала имеет отличную от нуля производную
(x0). Тогда на множестве значений этой функции, соответствующем интервалу (a;b), определена непрерывная обратная функция x=φ(y), которая в точке y0= f(x0) имеет производную
, причём
.
Пример. Функция y = sin x удовлетворяет условиям последней теоремы на интервале
и всюду на этом интервале имеет отличную от нуля производную:
. Поэтому на соответствующем интервале значений этой функции (
) определена и дифференцируема обратная функция
x = arcsin y, причём
.
Здесь перед корнем взят знак плюс, так как на интервале
функция
положительна. Итак,
, или, если аргумент y обозначить
через x,
.