Изменить порядок интегрирования в повторном интеграле Криволинейные интегралы второго рода Физические приложения поверхностных интегралов Вычислить поверхностный интеграл Вычислить тройной интеграл

Примеры решения задач курсового расчета, контрольной работы по математике

Производная обратной функции.

Справедлива следующая теорема.  Пусть функция y=f(x) строго монотонна (т.е. является либо возрастающей, либо убывающей) и непрерывна на интервале (a;b) и в точке x0 из этого интервала имеет отличную от нуля производную (x0). Тогда на множестве значений этой функции, соответствующем интервалу (a;b), определена непрерывная обратная функция x=φ(y), которая в точке y0= f(x0) имеет производную  , причём .

Пример. Функция y = sin x удовлетворяет условиям последней теоремы на интервале  и всюду на этом интервале имеет отличную от нуля производную:  . Поэтому на соответствующем интервале значений этой функции () определена и дифференцируема обратная функция

  x = arcsin y, причём .

Здесь перед корнем взят знак плюс, так как на интервале  функция  положительна. Итак, , или, если аргумент y обозначить

 через  x, .


Дифференцирование и интегрирование степенных рядов