Изменить порядок интегрирования в повторном интеграле Криволинейные интегралы второго рода Физические приложения поверхностных интегралов Вычислить поверхностный интеграл Вычислить тройной интеграл

Примеры решения задач курсового расчета, контрольной работы по математике

Производная сложной функции.

Теорема 12.1 Пусть функция  u =φ(x) имеет в некоторой точке x0 производную , а функция  имеет в соответствующей точке  производную . Тогда сложная функция  в точке x0 также имеет производную, равную произведению производных функций  и φ(x):

 .

Коротко это соотношение можно записать в виде  .

Доказательство. Дадим аргументу  x приращение ∆ x. Тогда функция u =φ(x) получит приращение ∆ u, а функция  получит приращение ∆ y. Так как функции φ(x) и  имеют производные, то есть дифференцируемы, то , а , где  при  и  при .

Подставим выражение для ∆u в выражение  для ∆y:

.

Разделим это равенство на ∆x:

.

Если  , то   и (как следует из выражения для ∆ u) .  Но тогда и . Поэтому

=.

Теорема доказана.

Остановимся на одном частном случае применения этой теоремы. Пусть ,  где C – константа. Тогда .

Пусть, например, . Здесь . Введём обозначение , тогда .


Дифференцирование и интегрирование степенных рядов