Изменить порядок интегрирования в повторном интеграле Криволинейные интегралы второго рода Физические приложения поверхностных интегралов Вычислить поверхностный интеграл Вычислить тройной интеграл

Примеры решения задач курсового расчета, контрольной работы по математике

Односторонние производные

Производная есть предел разностного отношения , причём этот предел не зависит от характера стремления  к нулю ( может быть как больше, так и меньше нуля, то есть может стремиться к нулю как справа, так и слева). Но в ряде случаев функция может не иметь в заданной точке производной, хотя в этой точке существует предел отношения   при условии, что   стремится к нулю только справа (правый предел) или только слева (левый предел), или же существует как правый, так и левый предел, но они не равны друг другу. Например, если функция определена на отрезке, а за пределами этого отрезка не определена, то на границах отрезка могут существовать только односторонние пределы. Такие односторонние пределы называются односторонними производными. А именно, если для рассматриваемой функции в заданной точке существует правый (левый) предел отношения , то этот предел называется правой (левой) производной. Правая производная функции   обозначается символом , левая – символом . То есть . Выше (см. § 7) уже говорилось о том, что функция  y== не дифференцируема в точке x = 0.  Однако в этой точке она имеет как правую, так и левую производную. Действительно,  .

Если функция  имеет в точке x производную, то очевидно, что она имеет в этой точке как правую, так и левую производную, причём .

Верно и обратное утверждение: если функция  имеет в точке x равные между собой правую и левую производную, то она имеет в этой точке и производную, причём

.


Дифференцирование и интегрирование степенных рядов