Изменить порядок интегрирования в повторном интеграле Криволинейные интегралы второго рода Физические приложения поверхностных интегралов Вычислить поверхностный интеграл Вычислить тройной интеграл

Примеры решения задач курсового расчета, контрольной работы по математике

Теорема Коши

Следующую теорему можно рассматривать как обобщение теоремы Лагранжа.

Теорема 20.1 (теорема Коши). Пусть функции f(x) и g(x)  непрерывны на отрезке [a;b] и дифференцируемы во всех внутренних точках этого отрезка, причём производная  отлична от нуля во всех внутренних точках отрезка [a;b]. Тогда внутри отрезка [a;b] найдётся такая точка c, что справедлива формула

 

Последнюю формулу называют формулой Коши или обобщённой формулой конечных приращений.

Доказательство. Убедимся сначала в том, что знаменатель левой части формулы Коши не равен нулю (так как в противном случае это выражение не имело бы смысла). В самом деле, если бы было , то для функции  были бы выполнены все условия теоремы Ролля, и, следовательно, внутри отрезка [a;b] нашлась бы такая точка c, что , а это равенство противоречит условию теоремы. Рассмотрим теперь вспомогательную функцию .

Функция   удовлетворяет всем условиям теоремы Ролля. В самом деле, она непрерывна на отрезке  [a;b] (поскольку непрерывны  и   ) и во всех внутренних точках отрезка [a;b] имеет производную, равную

 .

Кроме того, очевидно, что . Таким образом, как следует из теоремы Ролля, внутри отрезка [a;b] найдётся такая точка c, что , то есть

 , или

 .

Разделив это равенство на  (в данном случае это возможно, та как ), получим требуемое равенство.

Теорема доказана.


Дифференцирование и интегрирование степенных рядов