Принимаем заказы на выполнение контрольных, курсовых, дипломных работ

Сервис для выполнения любых видов студенческих работ

Сервис для выполнения любых видов студенческих работ

 

Народная медицина

Соблазн возбуждающая  жвачка

Соблазн возбуждающая жвачка

 

KupiVip – крупнейший онлайн-магазин

Выполнение 
работ на заказ. Контрольные, курсовые и дипломные работы

Выполнение работ на заказ. Контрольные, курсовые и дипломные работы

Renoven - антиварикозный   бальзам

Renoven - антиварикозный бальзам

ШефМаркет. Доставка продуктов с рецептами

Уборка   квартир в Москве

Уборка квартир в Москве

Дизайнерская мебель

Заказ и доставка билетов

Заказ и доставка билетов

 Академия Моды и Стиля

Академия Моды и Стиля

 

Интернет-магазин Olympus

Интернет-магазин Olympus<

Изменить порядок интегрирования в повторном интеграле Криволинейные интегралы второго рода Физические приложения поверхностных интегралов Вычислить поверхностный интеграл Вычислить тройной интеграл

Примеры решения задач курсового расчета, контрольной работы по математике

Исследование функций с помощью производных

Отыскание точек локального экстремума функции

Как следует из теоремы 17.1, производная дифференцируемой функции в точке локального экстремума этой функции равна нулю. Поэтому функция, дифференцируемая на некотором интервале, может иметь на этом интервале локальный экстремум только в тех точках, где её производная равна нулю. Такие точки, т.е. точки, в которых производная функции равна нулю, называются точками возможного экстремума или стационарными точками. Однако в стационарной точке не обязательно достигается локальный экстремум функции. Например, функция   не имеет локального экстремума в стационарной точке x=0. Предположим теперь, что функция дифференцируема всюду на заданном интервале, за исключением конечного числа точек, в которых эта функция не имеет производной. В тех точках, в которых функция имеет отличную от нуля производную, эта функция, как следует из теоремы 16.1, либо возрастает, либо убывает. Поэтому в таких точках локального экстремума быть не может.

В остальных точках заданного интервала, т.е. в стационарных точках и в тех точках, где функция не имеет производной, наличие локального экстремума возможно. Так, например, функция y= не имеет производной в точке x = 0, но в этой точке функция имеет локальный минимум (рис. 4). Такие точки, а именно стационарные точки и те точки, в которых функция не имеет производной, называются критическими точками. Для того чтобы выяснить, имеется ли экстремум в критической точке, требуется дополнительное исследование. Рассмотрим достаточное условие достижения функцией локального экстремума в критической точке.

Теорема 23.1 (первое достаточное условие экстремума). Пусть функция  дифференцируема всюду в некоторой окрестности критической точки , за исключением, быть может, самой точки , и непрерывна в точке . Тогда, если в пределах этой окрестности производная  положительна (отрицательна) слева от точки  и отрицательна (положительна) справа от точки , то функция имеет в точке  локальный максимум (минимум). Если же производная   имеет один и тот же знак слева и справа от точки , то экстремума в точке  нет. [an error occurred while processing this directive]

Доказательство. Рассмотрим случай, когда в пределах некоторой окрестности производная  положительна слева от точки  и отрицательна справа от точки . Выберем в пределах рассматриваемой окрестности произвольную точку , отличную от точки . Функция  дифференцируема, а, следовательно, и непрерывна всюду на отрезке , за исключением, быть может, точки , и непрерывна в точке . Поэтому для функции  на отрезке  выполнены все условия теоремы Лагранжа. Следовательно, внутри отрезка  найдётся такая точка c, что .

Поскольку производная  положительна при  и отрицательна при , то в пределах рассматриваемой окрестности выражение   отрицательно. Но это означает, что в пределах данной окрестности значение  является наибольшим, то есть точка  доставляет функции  локальный максимум. Рассуждая точно также, можно доказать, что в случае, когда производная  отрицательна слева от точки  и положительна справа от неё, точка   доставляет функции   локальный минимум, а в случае, когда производная  имеет один и тот же знак слева и справа от точки ,  выражение  имеет разные знаки слева и справа от точки , что означает отсутствие экстремума в точке .

Теорема доказана.


Дифференцирование и интегрирование степенных рядов