Изменить порядок интегрирования в повторном интеграле Криволинейные интегралы второго рода Физические приложения поверхностных интегралов Вычислить поверхностный интеграл Вычислить тройной интеграл

Примеры решения задач курсового расчета, контрольной работы по математике

Направление выпуклости графика функции.

 Точки перегиба

Дадим определение направления выпуклости графика функции. Предположим, что функция   дифференцируема на интервале . Это значит (см. §3), что на данном интервале график функции  имеет в каждой своей точке касательную, не параллельную оси ординат.

Определение. Говорят, что график функции  имеет на интервале  выпуклость, направленную вниз (вверх), если график этой функции в пределах данного интервала лежит выше (ниже) любой своей касательной.

Следующая теорема устанавливает связь между направлением выпуклости графика функции  и знаком её второй производной. Эта теорема приводится здесь без доказательства.

Теорема 25.1. Пусть функция  имеет на интервале  вторую производную. Тогда, если эта производная положительна (отрицательна) всюду на этом интервале, то график функции  имеет на интервале  выпуклость, направленную вниз (вверх).

Дадим определение точки перегиба. Предположим, что функция  дифференцируема на интервале , т.е. в любой точке, абсцисса которой принадлежит интервалу , график этой функции имеет касательную.

Определение. Точка  графика функции  называется точкой перегиба этого графика, если существует такая окрестность точки  оси абсцисс, в пределах которой график функции  слева и справа от точки  имеет разные направления выпуклости.

График функции , изображённый на рисунке 6, на интервале  имеет выпуклость, направленную вверх, на интервале  – выпуклость, направленную вниз; точка (0,0) является точкой перегиба этого графика.

Сформулируем без доказательства необходимое условие перегиба графика функции, имеющей вторую производную.

Теорема 25.2. Если функция  имеет в точке  вторую производную и график этой функции имеет перегиб в точке , то .

Отсюда ясно, что перегиб следует искать лишь в тех точках оси абсцисс, в которых сама функция  дифференцируема, а вторая производная этой функции либо равна нулю, либо не существует. Такие точки называются критическими точками второго рода.

Заметим, что равенство нулю второй производной является необходимым, но не достаточным условием перегиба. Так, например, функция  в точке  не имеет перегиба, хотя вторая производная этой функции, равная , в точке  равна нулю.
Сформулируем теперь без доказательства достаточное условие перегиба.

Теорема 25.3. Пусть функция  имеет вторую производную в некоторой окрестности точки , при этом сама точка   является критической точкой второго рода. Тогда, если в пределах указанной окрестности вторая производная  имеет разные знаки слева и справа от точки , то график этой функции имеет перегиб в точке .

Пример Найти интервалы, на которых сохраняется определённое направление выпуклости, и точки перегиба графика функции .

Решение. Найдём критические точки второго рода: 

  при . Вторая производная существует на всей действительной оси, поэтому других критических точек второго рода нет. При  , при  , поэтому в интервале  график заданной функции имеет выпуклость, направленную вверх, в интервале  – выпуклость, направленную вниз, а точка графика (1,0) является точкой перегиба.


Дифференцирование и интегрирование степенных рядов