Изменить порядок интегрирования в повторном интеграле Криволинейные интегралы второго рода Физические приложения поверхностных интегралов Вычислить поверхностный интеграл Вычислить тройной интеграл

Примеры решения задач курсового расчета, контрольной работы по математике

Направление выпуклости графика функции.

Асимптоты графика функции

Рассмотрим кривую, являющуюся графиком функции .

Определение. Прямая L называется асимптотой кривой , если расстояние от точки , лежащей на кривой, до прямой L стремится к нулю при неограниченном удалении этой точки по кривой от начала координат.

Асимптоты бывают вертикальными, наклонными и горизонтальными

Знание асимптот облегчает построение графика функции.

Дадим определение вертикальной асимптоты.

Определение. Прямая  называется вертикальной асимптотой графика функции , если хотя бы одно из предельных значений  или  равно  или .

Заметим, что если в точке  функция  имеет разрыв второго рода, при котором хотя бы одно из односторонних предельных значений бесконечно, то прямая  является для графика этой функции вертикальной асимптотой.

Дадим определение наклонной асимптоты.

Определение. Прямая  называется наклонной асимптотой графика функции  при  (), если функцию  можно представить в виде

,

где.

График функции, имеющей две асимптоты (вертикальную и наклонную), изображён на рисунке 8.

Следующая теорема устанавливает необходимые и достаточные условия, при которых график функции  имеет наклонную асимптоту.

Теорема 26.1. Для того чтобы график функции  имел при  наклонную асимптоту, необходимо и достаточно, чтобы существовали два предела

 и 

(  и )

Доказательство. Рассмотрим случай существования асимптоты при .

1. Необходимость. Пусть график функции  имеет при  асимптоту . Тогда , где . Отсюда следует, что

,

.

2. Достаточность. Пусть указанные в теореме пределы при  существуют. Но существование второго из этих пределов означает, что разность  является бесконечно малой при , т.е.  или ,

где , что и требовалось доказать.

Случай существования асимптоты при  рассматривается аналогично.

Теорема доказана.

Если, в частности, угловой коэффициент  наклонной асимптоты равен нулю, то такая асимптота называется горизонтальной.


Дифференцирование и интегрирование степенных рядов