Принимаем заказы на выполнение контрольных, курсовых, дипломных работ

Сервис для выполнения любых видов студенческих работ

Сервис для выполнения любых видов студенческих работ

 

Народная медицина

Соблазн возбуждающая  жвачка

Соблазн возбуждающая жвачка

 

KupiVip – крупнейший онлайн-магазин

Выполнение 
работ на заказ. Контрольные, курсовые и дипломные работы

Выполнение работ на заказ. Контрольные, курсовые и дипломные работы

Renoven - антиварикозный   бальзам

Renoven - антиварикозный бальзам

ШефМаркет. Доставка продуктов с рецептами

Уборка   квартир в Москве

Уборка квартир в Москве

Дизайнерская мебель

Заказ и доставка билетов

Заказ и доставка билетов

 Академия Моды и Стиля

Академия Моды и Стиля

 

Интернет-магазин Olympus

Интернет-магазин Olympus<

Изменить порядок интегрирования в повторном интеграле Криволинейные интегралы второго рода Физические приложения поверхностных интегралов Вычислить поверхностный интеграл Вычислить тройной интеграл

Примеры решения задач курсового расчета, контрольной работы по математике

Направление выпуклости графика функции.

Асимптоты графика функции

Пример. Найти асимптоты графика функции .

Решение. Так как , то прямая  является для графика функции вертикальной асимптотой. При этом .

Найдём :

 .

Найдём теперь  :

,

следовательно, прямая   является для графика заданной функции наклонной асимптотой при . Точно также можно убедиться в том, что прямая  является наклонной асимптотой этого графика и при .

Пример . Убедимся в том, что график параболы  не имеет асимптот. Действительно,  , следовательно, график данной функции не имеет наклонной асимптоты. Так как функция непрерывна на всей действительной оси, то её график не имеет и вертикальных асимптот.

Схема исследования графика функции

Для того чтобы исследовать график заданной функции, целесообразно решить следующие задачи.

1. Уточнить область определения функции.

2. Исследовать функцию на четность и нечетность. [an error occurred while processing this directive]

3. Найти точки пересечения графика с осями координат и интервалы знакопостоянства функции (интервалы, на каждом из которых функция либо всюду положительна, либо всюду отрицательна).

4. Найти точки разрыва (если они существуют) и выяснить характер разрыва.

5. Выяснить вопрос о существовании асимптот.

6. Найти интервалы возрастания и убывания функции.

7. Найти экстремумы функции.

8. Найти интервалы, на которых сохраняется определённое направление выпуклости графика функции, и точки перегиба графика.

Пример Исследовать график функции .

Решение.

1. Областью определения заданной функции служит вся действительная ось за исключением точки .

2. Функция не является ни чётной, ни нечётной.

3. При  и при   , при  , следовательно, график функции пересекает ось абсцисс в точках  и , а ось ординат пересекает в точке  . Для исследования интервалов знакопостоянства достаточно представить выражение, определяющее функцию, в виде  . Отсюда видно, что в интервалах  и  функция знакоположительна (), а в интервалах  и  – знакоотрицательна ().

4. Так как , то в точке  функция имеет разрыв второго рода.

5. Из рассуждений предыдущего пункта следует, что прямая  является вертикальной асимптотой. Выясним, имеет ли функция наклонную асимптоту:

.

Следовательно, функция имеет наклонную асимптоту .

6. Вычислим первую производную функции: .

Первая производная в интервалах  и  положительна, в интервалах  и  отрицательна, в точке  производная не существует. Следовательно, заданная функция в интервалах  и  является возрастающей, в интервалах  и  – убывающей.

7. В точках  и  , поэтому в этих точках функция имеет локальные экстремумы. Так как слева от точки  производная отрицательна, а справа – положительна, то в этой точке функция имеет локальный минимум, при этом значение функции в этой точке равно . В точке  функция имеет локальный максимум, так как слева от этой точки производная положительна, а справа отрицательна. При этом значение функции в этой точке равно .

8. Вычислим вторую производную: . В интервале  график функции имеет выпуклость, направленную вверх, в интервале  – выпуклость, направленную вниз, поскольку на первом из этих интервалов , а на втором . Точек перегиба график не имеет, так как вторая производная нигде не равна нулю, а в точке , где не существует второй производной, сама функция не определена.

График этой функции изображён на рисунке 8.


Дифференцирование и интегрирование степенных рядов