Интегрирование рациональных функций Найти повторный интеграл Криволинейные интегралы первого рода Физические приложения двойных интегралов Физические приложения тройных интегралов Теорема Стокса

Примеры решения задач курсового расчета, контрольной работы по математике

Криволинейные интегралы второго рода

Определение Предположим, что кривая C задана векторной функцией , где переменная s − длина дуги кривой. Тогда производная векторной функции представляет собой единичный вектор, направленный вдоль касательной к данной кривой (рисунок 1). В приведенной выше формуле α, β и γ − углы между касательной и положительными направлениями осей Ox, Oy и Oz, соответственно. [an error occurred while processing this directive]
Рис.1
Рис.2
Введем векторную функцию , определенную на кривой C, так, чтобы для скалярной функции существовал криволинейный интеграл . Такой интеграл называется криволинейным интегралом второго рода от векторной функции вдоль кривой C и обозначается как Таким образом, по определению, где − единичный вектор касательной к кривой C. Последнюю формулу можно переписать также в векторной форме: где . Если кривая C лежит в плоскости Oxy, то полагая R = 0, получаем Свойства криволинейного интеграла второго рода Криволинейный интеграл II рода обладает следующими свойствами:
  • Пусть C обозначает кривую с началом в точке A и конечной точкой B. Обозначим через −C кривую противоположного направления - от B к A. Тогда
  • Если C − объединение кривых C1 и C2 (рисунок 2 выше), то
  • Если кривая C задана параметрически в виде , то
  • Если кривая C лежит в плоскости Oxy и задана уравнением (предполагается, что R =0 и t = x), то последняя формула записывается в виде
  • Производная показательной и логарифмической функции