Физические приложения криволинейных интегралов Поверхностные интегралы первого рода Тройные интегралы в декартовых координатах Тройные интегралы в цилиндрических координатах Тройные интегралы в сферических координатах

Примеры решения задач курсового расчета, контрольной работы по математике

Физические приложения поверхностных интегралов

Пример Найти центр масс части сферической оболочки , расположенной в первом октанте и имеющей постоянную плотность μ0.

Решение. Очевидно, масса данной части сферы (рисунок 3) равна
Рис.3
Рис.4
Вычислим момент первого порядка Myz. где проекция D(x,y) поверхности на плоскость xy представляет собой часть круга, лежащую в первом квадранте (рисунок 4). Поскольку то Отсюда находим выражение для момента первого порядка Myz: Далее удобнее преобразовать интеграл в полярные координаты: Вычислим первый интеграл в квадратных скобках. Сделаем замену: . При r = 0 имеем t = 0, а при r = a, соответственно, . Тогда интеграл будет равен Второй интеграл имеет значение Таким образом, момент первого порядка Myz равен Отсюда находим координату xc центра масс: В силу симметрии, другие координаты имеют то же самое значение. Итак, координаты центра масс оболочки имеют вид
Производная степенной функции