Физические приложения криволинейных интегралов Поверхностные интегралы первого рода Тройные интегралы в декартовых координатах Тройные интегралы в цилиндрических координатах Тройные интегралы в сферических координатах

Примеры решения задач курсового расчета, контрольной работы по математике

Физические приложения поверхностных интегралов

Пример Вычислить момент инерции однородной сферической оболочки x2 + y2 + z2 = 1 (z ≥ 0) с плотностью μ0 относительно оси Oz.

Решение. Момент инерции Iz находится по формуле: где поверхность S − это полусфера x2 + y2 + z2 = 1 (z ≥ 0). Поскольку поверхность верхней полусферы описывается функцией , то элемент площади равен Тогда поверхностный интеграл выражается через двойной интеграл в виде где область интегрирования D(x,y) представляет собой круг . Переходя к полярным координатам, получаем FIX Для вычисления последнего интеграла сделаем замену: . Если r = 0, то t = 1. Если r = 1, то, наоборот, t = 0. В результате можно окончательно вычислить момент инерции:

Пример . Найти площадь той части поверхности цилиндра  которая вырезается цилиндром

 

 Рис.22 Рис.23

Решение. На рис.23 изображена  часть искомой поверхности. Уравнение поверхности имеет вид ; поэтому

Область интегрирования представляет собой четверть круга, т.е. определяется условиями

Следовательно, 

Производная степенной функции