Физические приложения криволинейных интегралов Поверхностные интегралы первого рода Тройные интегралы в декартовых координатах Тройные интегралы в цилиндрических координатах Тройные интегралы в сферических координатах

Примеры решения задач курсового расчета, контрольной работы по математике

Физические приложения поверхностных интегралов

Пример Найти силу притяжения между полусферой с постоянной плотностью μ0 радиусом r с центром в начале координат и точечной массой m, расположенной в начале координат.

Решение. Рассмотрим точку M(x,y,z) полусферы, которая принадлежит малому участку поверхности dS (рисунок 5). Силу притяжения между элементом поверхности dS и массой m можно записать в виде где G − гравитационная постоянная, − единичный вектор, направленный из точки O в точку M. Так как , то можно записать После интегрирования по поверхности полусферы получаем следующие выражения для компонентов силы притяжения: В сферических координатах уравнение полусферы записывается в виде где . Известно, что элемент площади для сферы равен . Тогда компоненты силы притяжения будут равны Заметим, что результат очевиден вследствие симметрии и однородности поверхности. Поэтому, результирующая сила направлена вдоль оси Oz.
Рис.5
Рис.6
Производная степенной функции