Физические приложения криволинейных интегралов Поверхностные интегралы первого рода Тройные интегралы в декартовых координатах Тройные интегралы в цилиндрических координатах Тройные интегралы в сферических координатах

Примеры решения задач курсового расчета, контрольной работы по математике

Физические приложения тройных интегралов

Пример Найти массу шара радиуса R, плотность γ которого пропорциональна квадрату расстояния от центра.

Решение. По условию, плотность γ задана соотношением γ = ar2, где a − некоторая постоянная, r − расстояние от центра. Массу шара удобно вычислить в сферических координатах:

Пример Найти момент инерции прямого круглого однородного конуса относительно его оси. Конус имеет радиус основания R, высоту H и общую массу m (рисунок 3).

Рис.3
Решение. Момент инерции тела относительно оси Oz выражается формулой Поскольку конус является однородным, то плотность γ(x,y,z) = γ0 можно вынести за знак интеграла: Перейдем к цилиндрическим координатам с помощью замены Новые переменные изменяются в пределах Тогда момент инерции равен Выразим плотность γ0 через известную массу конуса m. Так как то, следовательно Окончательно получаем Интересно, что момент инерции конуса не зависит от его высоты.

Производная степенной функции