Принимаем заказы на выполнение контрольных, курсовых, дипломных работ

Сервис для выполнения любых видов студенческих работ

Сервис для выполнения любых видов студенческих работ

 

Народная медицина

Соблазн возбуждающая  жвачка

Соблазн возбуждающая жвачка

 

KupiVip – крупнейший онлайн-магазин

Выполнение 
работ на заказ. Контрольные, курсовые и дипломные работы

Выполнение работ на заказ. Контрольные, курсовые и дипломные работы

Renoven - антиварикозный   бальзам

Renoven - антиварикозный бальзам

ШефМаркет. Доставка продуктов с рецептами

Уборка   квартир в Москве

Уборка квартир в Москве

Дизайнерская мебель

Заказ и доставка билетов

Заказ и доставка билетов

 Академия Моды и Стиля

Академия Моды и Стиля

 

Интернет-магазин Olympus

Интернет-магазин Olympus<

Физические приложения криволинейных интегралов Поверхностные интегралы первого рода Тройные интегралы в декартовых координатах Тройные интегралы в цилиндрических координатах Тройные интегралы в сферических координатах

Примеры решения задач курсового расчета, контрольной работы по математике

Физические приложения тройных интегралов

Пример С какой силой притягивает однородный шар массы M материальную точку массы m, расположенную на расстоянии a от центра шара (a > R)?

Решение. Без снижения общности материальную точку можно поместить на оси Oz (рисунок 4), так что ее координата составляет (0, 0, a).
Рис.4
Рис.5
Решим задачу следующим образом. Сначала вычислим потенциал шара, а затем найдем силу притяжения материальной точки и шара. При этом для нахождения потенциала шара вместо вычисления тройного интеграла технически удобно сначала определить потенциал сферы (через поверхностный интеграл), а затем уже получить результат для шара (выполнив еще одно интегрирование). Итак, вычислим потенциал сферы произвольного радиуса r (r ≤ R). Выделим на сфере малый участок площадью dS, как показано на рисунке 5. Масса этого участка равна где ρ(r) − плотность сферы, а dr − ее толщина. Указанная сфера создает в точке P потенциал, равный где расстояние δ от участка dS до точки P выражено по теореме косинусов через величины a, r, θ. Учитывая, что элемент площади равен , получаем Вычислим отдельно интеграл по переменной θ. Сделаем следующую замену: пусть Тогда В результате находим интеграл Таким образом, потенциал сферы радиуса r равен Теперь можно вычислить потенциал шара радиуса R. Пусть для простоты плотность шара постоянна и равна ρ0. Получаем В полученном выражении 4/3πR3 = V − это объем шара, а ρ0V = M − масса шара. В итоге мы доказали, что потенциал гравитационного поля, создаваемого шаром на расстоянии a от центра шара (a > R), выражается формулой Далее легко найти силу притяжения шара и материальной точки. Поскольку то сила равна Знак "минус" означает, что сила направлена в сторону, противоположную оси Oz, т.е. является силой притяжения. Как видно, сила притяжения шара и точки имеет такой же вид, как и сила притяжения двух точечных масс! Это один из фундаментальных результатов в астрофизике и небесной механике. Благодаря этому, планеты и звезды часто можно рассматривать как материальные точки при описании их движения. Чтобы получить этот результат, Исаак Ньютон был вынужден даже отложить публикацию своих знаменитых "Начал Философии". Возможно трудности были связаны с тем, что он не использовал сферические координаты при решении этой задачи...

Производная степенной функции