Примеры решения задач курсового расчета, контрольной работы по математике

Поверхностные интегралы первого рода

Пример Вычислить интеграл , где S − часть конуса внутри поверхности .

Решение. Определим сначала область интегрирования D, которая является проекцией поверхности S на плоскость Oxy. Запишем уравнение в следующем виде: Как видно, область интегрирования D представляет собой круг с центром в точке (a, 0) (рисунок 4). Поскольку частные производные равны то элемент площади конической поверхности имеет вид Следовательно, по формуле получаем Для вычисления полученного интеграла удобно перейти к полярным координатам. Область интегрирования D при этом принимает вид Тогда интеграл равен В последней формуле интеграл I₁ равен нулю, поскольку подынтегральная функция является нечетной, а интегрирование выполняется в интервале, симметричном относительно начала координат. Отсюда следует