Поверхностные интегралы первого рода
Пример Вычислить интеграл
Решение. Определим сначала область интегрирования D, которая является проекцией поверхности S на плоскость Oxy. Запишем уравнение, где S − часть конуса
внутри поверхности
.
в следующем виде:
Как видно, область интегрирования D представляет собой круг с центром в точке (a, 0) (рисунок 4). Поскольку частные производные равны
то элемент площади конической поверхности имеет вид
Следовательно, по формуле
получаем
Для вычисления полученного интеграла удобно перейти к полярным координатам. Область интегрирования D при этом принимает вид
Тогда интеграл равен
В последней формуле интеграл I1 равен нулю, поскольку подынтегральная функция является нечетной, а интегрирование выполняется в интервале, симметричном относительно начала координат. Отсюда следует
![]()