Примеры решения задач курсового расчета, контрольной работы по математике

Поверхностные интегралы второго рода

Рассмотрим векторное поле и поверхность S, которая описывается вектором

Предполагается, что функции x(u,v), y(u,v), z(u,v) являются непрерывно дифференцируемыми в некоторой области D(u,v), и что ранг матрицы равен 2. Обозначим через единичный нормальный вектор к поверхности S в точке (x,y,z). Если поверхность S гладкая и векторная функция непрерывна, то в каждой точке поверхности существуют два противоположно направленных единичных нормальных вектора: Выбор одного из них называется ориентацией поверхности. Если S является границей ограниченной области, то ее можно ориентировать внешней или внутренней нормалями. Поверхность S, ориентированную внешней нормалью, называют ее внешней стороной, а ориентированную внутренней нормалью, − ее внутренней стороной. Поверхностный интеграл второго рода от векторного поля по ориентированной поверхности S (или поток векторного поля через поверхность S) может быть записан в одной из следующих форм:

• Если поверхность S ориентирована внешней нормалью, то [an error occurred while processing this directive]
• Если поверхность S ориентирована внутренней нормалью, то

Величина называется векторным элементом поверхности. Точка обозначает скалярное произведение соответствующих векторов. Частные производные, входящие в последние формулы, вычисляются следующим образом: