Физические приложения криволинейных интегралов Поверхностные интегралы первого рода Тройные интегралы в декартовых координатах Тройные интегралы в цилиндрических координатах Тройные интегралы в сферических координатах

Примеры решения задач курсового расчета, контрольной работы по математике

Поверхностные интегралы второго рода

Пример Вычислить поверхностный интеграл от векторного поля по внутренне ориентированной поверхности S, заданной уравнением , где .

Решение. Применим формулу Поскольку то поверхностный интеграл можно записать в виде В результате простых вычислений находим ответ:

Пример Найти интеграл от векторного поля по поверхности S, заданной в параметрической форме вектором .

Решение. Сначала найдем частные производные. Отсюда следует, что Следовательно, векторный элемент площади равен Так как , то векторное поле можно представить в виде: Тогда исходный поверхностный интеграл равен

Приложения двойных интегралов к задачам механики.

Масса плоской пластинки переменной плотности.

Рассмотрим тонкую пластинку, расположенную на плос­кости Оху и занимающую область D. Толщину этой пластинки считаем настолько малой, что изменением плотности по толщине ее можно пренебречь.

Поверхностной плотностью такой пластинки в данной точке назы­вается предел отношения массы площадки к ее площади при условии, что площадка стягивается к данной точке.

Определенная таким образом поверхностная плотность будет зависеть только от положения данной точки, т. е. являться функ­цией ее координат:

 

Если бы плотность была постоянной (), то масса всей пластинки равнялась бы , где S - площадь пластинки. Найдем теперь массу неоднородной пластинки, считая, что ее плотность является заданной функцией . Для этого разобьем область, занимаемую пластинкой, на частичные области  с площадями  (рис. 16). Выбирая в каждой частичной области произвольную точку , будем считать, что плотность во всех точках частичной области постоянна и равна плотнос­ти   в выбранной точке. Составим приближенное выражение для массы пластинки в виде интег­ральной суммы

 (*)

Для точного выражения массы следует найти предел суммы (*) при условии и каждая частичная область стягивается к точке. Тогда


Производная степенной функции