Физические приложения криволинейных интегралов Поверхностные интегралы первого рода Тройные интегралы в декартовых координатах Тройные интегралы в цилиндрических координатах Тройные интегралы в сферических координатах

Примеры решения задач курсового расчета, контрольной работы по математике

Поверхностные интегралы второго рода

Пример Вычислить интеграл , где S − часть внутренней поверхности эллипсоида, заданного параметрически в виде . Параметры u,v изменяются в интервале .

Решение. Воспользуемся формулой Поскольку определитель может быть записан в виде Следовательно, поверхностный интеграл равен

 Пример.

  Пример.

 Пример.

При вычислении двойного интеграла (*) мы будем опираться на тот факт, что он выражает объём V цилиндрического тела с основанием D, ограниченного поверхностью . Напомним, что мы уже занимались задачей об объёме тела, когда рассматривали применения определённого интеграла к задачам геометрии и получили формулу

  (**) 

  

 Рис.3

где S(х) - площадь поперечного сечения тела плоскостью, перпендикулярной к оси абсцисс, а  и - уравнения плоскостей, ограничивающих тело. Применим теперь эту формулу к вычислению двойного интеграла

 

 Предположим сначала, что область интегрирова­ния D удовлетворяет сле­дующему условию: любая прямая, параллельная оси Ox или Oy, пересекает границу области не более чем в двух точках. Соответствующее цилиндрическое тело изображено на рис.3


Производная степенной функции