Физические приложения криволинейных интегралов Поверхностные интегралы первого рода Тройные интегралы в декартовых координатах Тройные интегралы в цилиндрических координатах Тройные интегралы в сферических координатах

Примеры решения задач курсового расчета, контрольной работы по математике

Поверхностные интегралы второго рода

Пример Найти интеграл , где S − внутренняя поверхность сферы .

Решение. Запишем компоненты векторного поля : Уравнение сферы удобно преобразовать в сферические координаты: где . Применим формулу Так как то определитель под знаком двойного интеграла будет равен Это значение соответствует внутренней ориентации поверхности. Искомый поверхностный интеграл будет равен Вычислим последние два интеграла отдельно. Следовательно, поверхностный интеграл имеет значение

Приведем к повторному интеграл если область D ограничена линиями у=0, у=х2 и х+у=2.

Область D, а также координаты крайних ее точек показаны на рис. 158. Вид области указывает на то, что удобнее интегрировать сначала по x, а потом по y:

Если изменим порядок интегрирования, то результат уже не удастся записать в виде одного повторного интеграла, так как линия OBA имеет на разных участках разные уравнения.

 

 Рис.8

Разбивая область D на две : OBC и CBA, получим

Этот пример показывает, как важно с самого начала продумать порядок интегрирования.

Формулы (А) и (Б) сведения двойного интеграла к повторному справедливы и для случая областей более общего вида. Так, формула (А) применима к области, указанной на рис.9, а формула (Б) - к области, изображенной на рис.10. В случае области ещё более общего вида (Рис.11) двойной интеграл следует разбить на сумму интегралов по более простым областям, а затем каждый из них сводить отдельно к повторному, пользуясь формулами (А) и (Б).


Производная степенной функции