Примеры решения задач курсового расчета, контрольной работы по математике

Тройные интегралы в декартовых координатах

Пример Выразить тройной интеграл через повторные интегралы шестью различными способами. Область U расположена в первом октанте и ограничена цилиндром x² + z² = 4 и плоскостью y = 3 (рисунок 7). Найти значение интеграла.

Рис.7		Рис.8

Решение. Если порядок интегрирования имеет вид "z-y-x", то повторный интеграл выглядит как Аналогично записывается повторный интеграл для последовательности интегрирования "z-x-y": Теперь рассмотрим случай "x-y-z", т.е. когда первый внутренний интеграл берется по переменной x. Тогда Поскольку проекция тела на плоскость Oyz представляет собой прямоугольник (рисунок 8), то меняя порядок интегрирования по y и z, получаем Наконец повторный интеграл при интегрировании в порядке "y-x-z" (начиная с внутреннего интеграла) имеет вид: Последний шестой вариант записывается в виде: Мы можем использовать любой из шести повторных интегралов чтобы вычислить значение тройного интеграла. Например, используя последний интеграл, получаем: Сделаем замену: Находим окончательный ответ: Нетрудно проверить, что данное значение в точности равно 1/4 объема цилиндра, по которому проводилось интегрирование.