Тройные интегралы в декартовых координатах
Пример Выразить тройной интеграл
через повторные интегралы шестью различными способами. Область U расположена в первом октанте и ограничена цилиндром x2 + z2 = 4 и плоскостью y = 3 (рисунок 7). Найти значение интеграла.
Решение. Если порядок интегрирования имеет вид "z-y-x", то повторный интеграл выглядит как
Рис.7 Рис.8Аналогично записывается повторный интеграл для последовательности интегрирования "z-x-y":
Теперь рассмотрим случай "x-y-z", т.е. когда первый внутренний интеграл берется по переменной x. Тогда
Поскольку проекция тела на плоскость Oyz представляет собой прямоугольник (рисунок 8), то меняя порядок интегрирования по y и z, получаем
Наконец повторный интеграл при интегрировании в порядке "y-x-z" (начиная с внутреннего интеграла) имеет вид:
Последний шестой вариант записывается в виде:
Мы можем использовать любой из шести повторных интегралов чтобы вычислить значение тройного интеграла. Например, используя последний интеграл, получаем:
Сделаем замену:
Находим окончательный ответ:
Нетрудно проверить, что данное значение в точности равно 1/4 объема цилиндра, по которому проводилось интегрирование.