Производная функции

Определение производной функции, ее геометрический и физический смысл, ее свойства подробно описаны в §13 лекций. Займемся непосредственно вычислением производных, для чего используем сводную таблицу формул дифференцирования. Вторая часть таблицы, в которой приведены производные основных элементарных функций, записана для сложных функций вида f(u), u=u(x). При этом следует помнить, что .

Примеры.

Вычислить производные функций:

Дифференциал функции

Пример. Дана функция . Найти ее первый дифференциал dy

Решение: Воспользуемся формулой первого дифференциала.

. Таким образом, .

2. Производные и дифференциалы высших порядков

Пример. Дана функция Найти

Решение: Воспользуемся формулой второго дифференциала: . Для того. Чтобы найти вторую производную , продифференцируем данную функцию последовательно дважды:

  ;

.

Таким образом,

Выполнить, если возможно, действия с матрицами:

Примеры

1. Проверьте, верно ли найден интеграл:

Решение. Произвольное постоянное слагаемое С – непременный атрибут любого неопределенного интеграла. Чтобы проверить, верно ли найдена первообразная функция в правой части данного равенства, следует найти ее производную:

Замена переменной; интегрирование по частям

При вычислении любого неопределенного интеграла следует ответить для себя на следующие вопросы:

- является ли интеграл табличным? Может быть, он отличается от табличного лишь линейной заменой?

- если нет, может ли интеграл быть упрощен, то есть можно ли представить подынтегральную функцию в виде суммы (в этом случае каждое из слагаемых интегрируется отдельно, начиная с первого вопроса)?

- если нет, имеет ли смысл пользоваться внесением под знак дифференциала? (впрочем, если вы не уверенно пользуетесь этим методом, этот вопрос можно опустить)

 Если на все три вопроса ответ отрицательный, стоит попробовать сделать замену переменной (подстановку). Обычно при выборе подстановки удобно бывает руководствоваться принципами:

Интегрирование выражений, содержащих квадратный трехчлен

Итак, для вычисления неопределенного интеграла необходимо свести его к табличному, выбирая для этого на каждом шаге одно из трех действий:

- упрощение (разложение на слагаемые),

- замену переменной (включая сюда и внесение под дифференциал),

- интегрирование по частям.

Примеры

  - табличный интеграл (вынести )

Интегрирование рациональных функций

 Для того, чтобы проинтегрировать рациональную (многочлен в числителе, многочлен в знаменателе), обычно нужно ее упростить (как вы помните, это значит – представить в виде суммы).

Если дробь неправильная, то есть степень числителя не меньше степени знаменателя, следует числитель разделить на знаменатель, выделив целую часть.

Пример . Вычислить .

Так как дробь неправильная, выделим целую часть. Делить будем в столбик, примерно так, как делят числа: так, чтобы все время уничтожалась наивысшая степень делимого, для этого каждый раз элемент частного получается делением старшей степени делимого на старшую степень делителя:

Математика примеры решения задач