Интегрирование тригонометрических выражений

Сервис для выполнения любых видов студенческих работ

Сервис для выполнения любых видов студенческих работ

 

Народная медицина

Соблазн возбуждающая  жвачка

Соблазн возбуждающая жвачка

 

Выполнение 
работ на заказ. Контрольные, курсовые и дипломные работы

Выполнение работ на заказ. Контрольные, курсовые и дипломные работы

Renoven - антиварикозный   бальзам

Renoven - антиварикозный бальзам

ШефМаркет. Доставка продуктов с рецептами

Уборка   квартир в Москве

Уборка квартир в Москве

Дизайнерская мебель

Заказ и доставка билетов

Заказ и доставка билетов

 Академия Моды и Стиля

Академия Моды и Стиля

 

Интернет-магазин Olympus

Интернет-магазин Olympus<

Начертательная геометрия
  • Cборочные единицы
  • Обозначение материалов
  • Построение лекальных кривых
  • Примеры построения сопряжений
  • Выполнение чертежей деталей
  • Машиностроительное черчение
  • Позиционные задачи
  • Способ замены плоскостей проекции
  • Теория и синтез машин и механизмов
    Черчение выполнение чертежей
    Основы технической механики
    Примеры решения задач по математике
    Тройные и двойные интегралы
    Примеры курсового расчета
    Математика лекции и примеры решения задач
    Линейная и векторная алгебра
    Математический анализ
    Дифференцирование исчисление
    Интегральное исчисление
    Дифференциальные уравнения
    Примеры вычисления интегралов
    Вычисление длин дуг кривых
    Вычисление площадей в декартовых
    координатах
    Вычисление площадей фигур при
    параметрическом задании границы (контура)
    Площадь в полярных координатах 
    Вычисление объема тела
    Вычисление длин дуг плоских кривых,
    заданных в декартовых координатах

    Вычисление длин дуг кривых,
    заданных параметрически 

    Предел функции
    Производная функции
    Интегрирование тригонометрических выражений
    Задачи на вычисление интегралов
    Исследовать функцию
    Определенный и неопределенный интеграл
    Применение тройных интегралов
    Криволинейный интеграл
    Векторная функция
    Числовые ряды
    Степенные ряды
    Понятие функции
    комплексной переменной
    Операционное исчисление
    Интеграл Фурье
    Ряды Фурье
    Машиностроительное черчение
    Черчение в инженерной практике
    Оформление чертежа
    Техническая механика
  • Штриховка разрезов
  • Спецификация
  • Неметаллические материалы
  • Техника вычерчивания и обводка
  • Построение лекальных кривых
  • Основная надпись
  • Сопряжение
  • Форматы
  • Последовательность нанесения
    размеров
  • Проецируещие прямые
  • Позиционные задачи
  • Вращение плоскости
  • Информатика
    Основы Web технологий
    Общие принципы построения вычислительных
    сетей
    Основы передачи дискретных данных
    Базовые технологии локальных сетей
    Построение локальных сетей по стандартам
    физического и канального уровней
    Сетевой уровень как средство построения
    больших сетей
    Глобальные сети
    Средства анализа и управления сетями
    Сборник задач по физике
    Электротехника и электроника
    Электрический ток
    Законы Ома и Кирхгофа
    Кинематика материальной точки
    Основные представления
    об электричестве
    Электромагнитные волны
    Физическая оптика
    Ядерная физика
    Физика элементарных частиц
    Строение атомных ядер
    Законы теплового излучения
    Классическая физика
    Энеpгия движения тел с неподвижной осью
    Постулаты теоpии относительности
    Теpмодинамические системы
    Курс лекций по химии
    Атомная энергетика
    Повышение безопасности атомной станции
    Ядерные реакторы
    Основы ядерной физики
    Использование атомной энергетики
    для решения проблем дефицита пресной воды
    Проектирование и строительство
    атомных энергоблоков
    Юбилей Атомной энергетики

    Атомная Энергетика России Аварии и инциденты Экология Кольская АЭС Ленинградская АЭС Билибинская АЭС Курская АЭС

    Ядерные реакторы технология
    Реаторы третьего поколения ВВЭР-1500

    С тригонометрическими интегралами мы уже встречались ранее. Их особенностью, пожалуй, можно считать обилие тригонометрических формул, позволяющих преобразовывать подынтегральное выражение, что часто позволяет его упростить. Способов такого преобразования, как и способов замены переменной в тригонометрическом интеграле обычно много, но для некоторых типов интегралов известны стандартные действия, приводящие к ответу наиболее коротким путем. Их описанию и посвящен рассматриваемый параграф лекций. На наш взгляд, приведенный там материал достаточно прост и показателен, сделаем только два замечания:

    - если подынтегральное выражение содержит tgx или ctgx, выразите эти функции через sinx и cosx.

    - не волнуйтесь, если ваш ответ не совпал с ответом в учебнике: это может случиться, если вы выбрали другой способ решения интеграла, и скорее всего существует тригонометрическое преобразование, доказывающее тождественность двух форм ответа.

    Интегрирование простейших иррациональных выражений

    Определенные интегралы, несобственные интегралы

    Каков геометрический смысл определенного интеграла?

    п2. Как вы думаете, существует ли ? Обоснуйте ответ.

    п3. Вычислите определенные интегралы:

      а) ; б) ; в) ; г) ; д) ;

     е) ; ж) ; з) ; и); к)

    Вычислить определенные интегралы:

    Функции нескольких переменных

    Пример.

     Найти область определения функции

    В данном случае на область определения функции накладываются ограничения из-за того, что аргумент логарифмической функции должен быть строго положителен: . Переписав это неравенство в виде  мы убеждаемся, что границей искомой области служит окружность  (с центром в начале координат, радиуса 3).

    Окружность разбивает плоскость хОу на две части; несложно убедиться, что неравенству  отвечает внутренняя область, то есть круг с центром в начале координат радиуса 3 (без границы, т.к. неравенство строгое).

    Двойной интеграл

    Отметим здесь, что при интегрировании функции z(x; y) по переменной х, так же как и при дифференцировании, считают y=const и пользуются обычными правилами вычисления интеграла. При этом пределы интегрирования могут зависеть от у (но не от х).

    Точно так же можно интегрировать функцию по у в пределах, зависящих от х (или просто постоянных).

    Примеры

    1.

    .

    2.

    Полученную при этом функцию можно далее интегрировать по второй переменной, в постоянных пределах:

    ОДУ первого порядка.

    Уравнения с разделяющимися переменными и однородные уравнения

    Примеры: Даны ОДУ 1-го порядка. Определить их тип (если возможно):

     а) ; б) ; в)

     г);

     д)

    а) Запишем уравнение в дифференциальной ф

    Линейные уравнения и уравнения Бернулли.

    Уравнения в полных дифференциалах.

    Примеры: Даны ОДУ 1-го порядка. Определить их тип (если возможно):

     а); б); в) 

     г) ; д)

    а) Уравнение дано в дифференциальной форме. Оно не является уравнением с разделяющимися переменными и однородным. Представим его в нормальной форме, разрешив относительно . Это линейное уравнение (относительно у), в котором .

    б) Легко видеть, что уравнение не является уравнением с разделяющимися переменными и однородным.

    ОДУ высших порядков.

    Линейные уравнения с постоянными коэффициентами

    п1. Для данных неоднородных линейных уравнений выписать соответствующие однородные линейные уравнения и составить характеристические уравнения:

     а) ; б) ; в)

    п2. По данным характеристическим уравнениям составить однородные линейные уравнения: 

     а) ; б) ; в)

    Задачи к практическому занятию

    п1. Для каждого из данных неоднородных линейных уравнений с постоянными коэффициентами выпишите правую часть и определите, является ли она функцией специального вида. Если да, выпишите значения параметров a,b, k:

     а) ; б) ; в) ;

     г) ; д) ; е)

    Задание 1.

    1) Найти модуль и аргумент чисел  и . Изобразить числа на комплексной плоскости. Представить числа в тригонометрической и показательной форме.

    2) Найти: а). ; б). ; в).

    Решение.

    1) Изобразим числа на комплексной плоскости. При этом числу  будет соответствовать точка , числу  - точка .

    Для нахождения модуля и аргумента заданных чисел воспользуемся формулами:

    Задание 3. Указать область дифференцируемости функции  и вычислить производную. Выделить действительную и мнимую часть полученной производной.

    Решение.

    Выделим действительную и мнимую часть функции :

    Таким образом, получим:

    Найдем частные производные  и выясним, в окрестности каких точек они существуют и непрерывны, а также в каких точках плоскости выполняются условия Коши-Римана:

    Построить область плоскости , определяемую данными неравенствами:

      а).

     б).

    а). Искомым множеством является пересечение кольца   и внутренней части угла :

    б).  Кривую  запишем в декартовых координатах:

    Итак, .

    Или ,

      - Лемниската Бернулли.

    Неравенство  определяет точки, лежащие на лемнискате и внутри ее. Неравенство  определяет точки, лежащие правее прямой Искомым множеством является пересечение этих областей:

    Найти область плоскости , в которую отображается с помощью функции  область :  плоскости .

    Решение.

    Для того чтобы найти образ области  при отображении , нужно найти образ границы  области , затем взять произвольную точку из области  и найти ее образ.

    Правило для определения уравнения образа кривой.

    Пусть в области  кривая задана . Чтобы найти уравнение образа  этой кривой в плоскости  при отображении с помощью функции , нужно исключить  и  из уравнений:

    Полученное разложение содержит только правильную часть ряда Лорана.

    2) Рассмотрим кольцо . В этой области запишем рассматриваемую функцию в виде . В знаменателях дробей мы записали выражения вида , где .

    Так как , то  и в силу формулы (1) . Так как , то, как и в предыдущем случае, .

    Следовательно, ==.

    Полученное разложение содержит и правильную, и главную часть ряда Лорана.

    3) Рассмотрим область . В этой области , поэтому в силу формулы (1) .

    Решение.

    а). Особой точкой функции является точка . Чтобы определить вид особой точки разложим функцию в ряд Лорана по степеням :

    Главная часть ряда Лорана содержит конечное число слагаемых, значит   - полюс. Порядок высшей отрицательной степени  определяет порядок полюса. Следовательно,  - полюс кратности 2. Вычет найдем, используя формулу , тогда .

    б). Особой точкой функции является точка . Чтобы определить вид особой точки используем признак поведения функции в особой точке.

    , значит  устранимая точка и, следовательно .

    Задание 11. Вычислить интегралы от функции комплексного переменного:

    а) , где   - отрезок прямой, , .

    б) , где  - ломаная, , , .

    в) , где  - дуга окружности , .

    г) , где  - отрезок прямой , соединяющий точки  и ,  и .

    Решение.

    а) Так как подынтегральная функция  аналитична всюду, то можно воспользоваться формулой Ньютона-Лейбница: =.

    б) Подынтегральная функция  определена и непрерывна всюду, ломаная  представляет собой кусочно-гладкую кривую, поэтому искомый интеграл сводится к вычислению двух криволинейных интегралов по координатам по формуле:

    .

    Задание 12. Вычислить интегралы, используя теорему Коши о вычетах:

    а) ;

    б) .

    Решение.

    а). Подынтегральная функция имеет внутри контура интегрирования две особые точки  и . Тогда .

    Определим вид особых точек и найдем в них вычеты.

    , следовательно

    а) Сформулируем правило, позволяющее вычислять несобственные интегралы от рациональной функции действительного переменного с помощью теории функций комплексного переменного:

    Пусть  - рациональная функция, , где  и  - многочлены степени  и  соответственно. Если функция  непрерывна на всей действительной оси и , т.е. степень знаменателя по крайней мере на две единицы больше степени числителя, то

    где  означает сумму вычетов функции  по всем полюсам, расположенным в верхней полуплоскости.

    Так как подынтегральная функция  четная, то =. Построим функцию , которая на действительной оси (при ) совпадает с подынтегральной функцией . Особые точки функции  - это точки  и . Из них в верхней полуплоскости находится точка , которая является полюсом второго порядка. Вычет функции  относительно полюса  равен =. Так как в верхней полуплоскости только одна особая точка, то . Следовательно, =.

    б) Сформулируем правило, позволяющее вычислить рассматриваемый несобственный интеграл с помощью теории функций комплексного переменного:

    Пусть  - рациональная функция, , где  и  - многочлены степени  и  соответственно. Если функция  непрерывна на всей действительной оси, ,  - произвольное действительное число, то

    ;

    ЗАДАНИЕ  5. Изменить порядок интегрирования в интеграле

    .

    РЕШЕНИЕ.

      Восстановим область интегрирования () по пределам повторных интегралов: =1È2,

    (1):  ;

    (2): 

    Изобразим область интегрирования на чертеже. Найдем точки пересечения параболы   и прямой :  т.е. точкам пересечения кривых соответствуют точки, для которых  и . Вертикальной штриховкой покажем порядок интегрирования: сначала по y при фиксированном x. Сменим штриховку на горизонтальную. Из рисунка видно, что данная область является -трапецией.

    Найти объем тела, ограниченного указанными поверхностями.

     Приведем решение двух задач на вычисление объемов тел, рассматривая тела с различной геометрией поверхности.

    1) ,

    2)   .

    РЕШЕНИЕ.

     1). Тело  ограничено двумя поверхностями: параболоидом   и плоскостью . Изобразим это тело на чертеже (рис.75).

    Замечание. При построении следует преобразовать уравнение направляющей цилиндра , лежащей в плоскости  к каноническому виду (прибавляя и вычитая 2): , откуда получим , то есть направляющей цилиндра в плоскости  служит окружность с центром в точке  радиуса . Кроме того, при построении следует учесть, что поверхность параболоида пересекается с плоскостью  по окружности . Тело  является z-цилиндрическим брусом, проектирующимся на плоскость  в область (), являющуюся -трапецией.

    Нетрудно убедиться, что и здесь, как и в предыдущем случае, повторный интеграл, записанный в декартовой системе координат, при вычислении требует значительных усилий; поэтому и в этом случае перейдем к цилиндрической системе координат (см. предыдущую задачу):

    .

    Найдем уравнения поверхностей, ограничивающих тело, в цилиндрической системе координат: уравнение цилиндра  перейдет в , уравнение параболоида  – в , плоскости  – в . Область (), являющаяся проекцией тела на плоскость , ограничена окружностью   и окружностью  (так как ). Найдем значения параметра , соответствующие точкам пересечения этих окружностей: , откуда  и для  получим два значения: . Учитывая симметрию тела  относительно плоскости , объем  запишем в виде следующего повторного интеграла:

    Чтобы тройной интеграл записать в виде повторного, перейдем в уравнениях ограничивающих тело поверхностей к сферическим координатам. Следует использовать соотношения

    .

    Уравнение   переходит в , уравнение   в ; для уравнения конуса  получим последовательно: ,   и , откуда  и ; уравнение плоскости  переходит в уравнение , уравнение плоскости  в , т.е. в . Таким образом,

    .

      Так как подынтегральная функция представляет собой произведение функций, каждая из которых зависит только от одной переменной, а пределы интегрирования постоянны, то повторный интеграл представляет собой просто произведение трех интегралов

    Найти массу пластинки

    ():  ,

    Плотность массы пластинки 

    РЕШЕНИЕ.

     Область () – это часть эллиптического кольца (на рис.78 область () заштрихована). Массу плоской области можно вычислить по формуле

    .

    Подставляя заданную плотность  в двойной интеграл, для массы получим

    .

    Рис.78

     Очевидно, что область  () не является ни -, ни - трапецией; при вычислении двойного интеграла в декартовой системе координат область () пришлось бы разбить на три области. Как для областей, заключенных между концентрическими окружностями с центром в начале координат “родной” является полярная система координат, так и для эллиптических колец “своей “ является эллиптическая система координат (обобщенная полярная система координат)

    Цилиндрический брус проектируется на плоскость  в криволинейную трапецию (D): 0 x 1, 0 y . Преобразуем тройной интеграл в повторный и вычислим его:

    =

    =[ замена переменных  ]=

    Замечание. В цилиндрической системе координат вычисления упрощаются: