Интегрирование тригонометрических выражений

С тригонометрическими интегралами мы уже встречались ранее. Их особенностью, пожалуй, можно считать обилие тригонометрических формул, позволяющих преобразовывать подынтегральное выражение, что часто позволяет его упростить. Способов такого преобразования, как и способов замены переменной в тригонометрическом интеграле обычно много, но для некоторых типов интегралов известны стандартные действия, приводящие к ответу наиболее коротким путем. Их описанию и посвящен рассматриваемый параграф лекций. На наш взгляд, приведенный там материал достаточно прост и показателен, сделаем только два замечания:

- если подынтегральное выражение содержит tgx или ctgx, выразите эти функции через sinx и cosx.

- не волнуйтесь, если ваш ответ не совпал с ответом в учебнике: это может случиться, если вы выбрали другой способ решения интеграла, и скорее всего существует тригонометрическое преобразование, доказывающее тождественность двух форм ответа.

Интегрирование простейших иррациональных выражений

Определенные интегралы, несобственные интегралы

Каков геометрический смысл определенного интеграла?

п2. Как вы думаете, существует ли ? Обоснуйте ответ.

п3. Вычислите определенные интегралы:

  а) ; б) ; в) ; г) ; д) ;

 е) ; ж) ; з) ; и); к)

Вычислить определенные интегралы:

Функции нескольких переменных

Пример.

 Найти область определения функции

В данном случае на область определения функции накладываются ограничения из-за того, что аргумент логарифмической функции должен быть строго положителен: . Переписав это неравенство в виде  мы убеждаемся, что границей искомой области служит окружность  (с центром в начале координат, радиуса 3).

Окружность разбивает плоскость хОу на две части; несложно убедиться, что неравенству  отвечает внутренняя область, то есть круг с центром в начале координат радиуса 3 (без границы, т.к. неравенство строгое).

Двойной интеграл

Отметим здесь, что при интегрировании функции z(x; y) по переменной х, так же как и при дифференцировании, считают y=const и пользуются обычными правилами вычисления интеграла. При этом пределы интегрирования могут зависеть от у (но не от х).

Точно так же можно интегрировать функцию по у в пределах, зависящих от х (или просто постоянных).

Примеры

1.

.

2.

Полученную при этом функцию можно далее интегрировать по второй переменной, в постоянных пределах:

ОДУ первого порядка.

Уравнения с разделяющимися переменными и однородные уравнения

Примеры: Даны ОДУ 1-го порядка. Определить их тип (если возможно):

 а) ; б) ; в)

 г);

 д)

а) Запишем уравнение в дифференциальной ф

Линейные уравнения и уравнения Бернулли.

Уравнения в полных дифференциалах.

Примеры: Даны ОДУ 1-го порядка. Определить их тип (если возможно):

 а); б); в) 

 г) ; д)

а) Уравнение дано в дифференциальной форме. Оно не является уравнением с разделяющимися переменными и однородным. Представим его в нормальной форме, разрешив относительно . Это линейное уравнение (относительно у), в котором .

б) Легко видеть, что уравнение не является уравнением с разделяющимися переменными и однородным.

ОДУ высших порядков.

Линейные уравнения с постоянными коэффициентами

п1. Для данных неоднородных линейных уравнений выписать соответствующие однородные линейные уравнения и составить характеристические уравнения:

 а) ; б) ; в)

п2. По данным характеристическим уравнениям составить однородные линейные уравнения: 

 а) ; б) ; в)

Задачи к практическому занятию

п1. Для каждого из данных неоднородных линейных уравнений с постоянными коэффициентами выпишите правую часть и определите, является ли она функцией специального вида. Если да, выпишите значения параметров a,b, k:

 а) ; б) ; в) ;

 г) ; д) ; е)

Задание 1.

1) Найти модуль и аргумент чисел  и . Изобразить числа на комплексной плоскости. Представить числа в тригонометрической и показательной форме.

2) Найти: а). ; б). ; в).

Решение.

1) Изобразим числа на комплексной плоскости. При этом числу  будет соответствовать точка , числу  - точка .

Для нахождения модуля и аргумента заданных чисел воспользуемся формулами:

Задание 3. Указать область дифференцируемости функции  и вычислить производную. Выделить действительную и мнимую часть полученной производной.

Решение.

Выделим действительную и мнимую часть функции :

Таким образом, получим:

Найдем частные производные  и выясним, в окрестности каких точек они существуют и непрерывны, а также в каких точках плоскости выполняются условия Коши-Римана:

Построить область плоскости , определяемую данными неравенствами:

  а).

 б).

а). Искомым множеством является пересечение кольца   и внутренней части угла :

б).  Кривую  запишем в декартовых координатах:

Итак, .

Или ,

  - Лемниската Бернулли.

Неравенство  определяет точки, лежащие на лемнискате и внутри ее. Неравенство  определяет точки, лежащие правее прямой Искомым множеством является пересечение этих областей:

Найти область плоскости , в которую отображается с помощью функции  область :  плоскости .

Решение.

Для того чтобы найти образ области  при отображении , нужно найти образ границы  области , затем взять произвольную точку из области  и найти ее образ.

Правило для определения уравнения образа кривой.

Пусть в области  кривая задана . Чтобы найти уравнение образа  этой кривой в плоскости  при отображении с помощью функции , нужно исключить  и  из уравнений:

Полученное разложение содержит только правильную часть ряда Лорана.

2) Рассмотрим кольцо . В этой области запишем рассматриваемую функцию в виде . В знаменателях дробей мы записали выражения вида , где .

Так как , то  и в силу формулы (1) . Так как , то, как и в предыдущем случае, .

Следовательно, ==.

Полученное разложение содержит и правильную, и главную часть ряда Лорана.

3) Рассмотрим область . В этой области , поэтому в силу формулы (1) .

Решение.

а). Особой точкой функции является точка . Чтобы определить вид особой точки разложим функцию в ряд Лорана по степеням :

Главная часть ряда Лорана содержит конечное число слагаемых, значит   - полюс. Порядок высшей отрицательной степени  определяет порядок полюса. Следовательно,  - полюс кратности 2. Вычет найдем, используя формулу , тогда .

б). Особой точкой функции является точка . Чтобы определить вид особой точки используем признак поведения функции в особой точке.

, значит  устранимая точка и, следовательно .

Задание 11. Вычислить интегралы от функции комплексного переменного:

а) , где   - отрезок прямой, , .

б) , где  - ломаная, , , .

в) , где  - дуга окружности , .

г) , где  - отрезок прямой , соединяющий точки  и ,  и .

Решение.

а) Так как подынтегральная функция  аналитична всюду, то можно воспользоваться формулой Ньютона-Лейбница: =.

б) Подынтегральная функция  определена и непрерывна всюду, ломаная  представляет собой кусочно-гладкую кривую, поэтому искомый интеграл сводится к вычислению двух криволинейных интегралов по координатам по формуле:

.

Задание 12. Вычислить интегралы, используя теорему Коши о вычетах:

а) ;

б) .

Решение.

а). Подынтегральная функция имеет внутри контура интегрирования две особые точки  и . Тогда .

Определим вид особых точек и найдем в них вычеты.

, следовательно

а) Сформулируем правило, позволяющее вычислять несобственные интегралы от рациональной функции действительного переменного с помощью теории функций комплексного переменного:

Пусть  - рациональная функция, , где  и  - многочлены степени  и  соответственно. Если функция  непрерывна на всей действительной оси и , т.е. степень знаменателя по крайней мере на две единицы больше степени числителя, то

где  означает сумму вычетов функции  по всем полюсам, расположенным в верхней полуплоскости.

Так как подынтегральная функция  четная, то =. Построим функцию , которая на действительной оси (при ) совпадает с подынтегральной функцией . Особые точки функции  - это точки  и . Из них в верхней полуплоскости находится точка , которая является полюсом второго порядка. Вычет функции  относительно полюса  равен =. Так как в верхней полуплоскости только одна особая точка, то . Следовательно, =.

б) Сформулируем правило, позволяющее вычислить рассматриваемый несобственный интеграл с помощью теории функций комплексного переменного:

Пусть  - рациональная функция, , где  и  - многочлены степени  и  соответственно. Если функция  непрерывна на всей действительной оси, ,  - произвольное действительное число, то

;

ЗАДАНИЕ  5. Изменить порядок интегрирования в интеграле

.

РЕШЕНИЕ.

  Восстановим область интегрирования () по пределам повторных интегралов: =1È2,

(1):  ;

(2): 

Изобразим область интегрирования на чертеже. Найдем точки пересечения параболы   и прямой :  т.е. точкам пересечения кривых соответствуют точки, для которых  и . Вертикальной штриховкой покажем порядок интегрирования: сначала по y при фиксированном x. Сменим штриховку на горизонтальную. Из рисунка видно, что данная область является -трапецией.

Найти объем тела, ограниченного указанными поверхностями.

 Приведем решение двух задач на вычисление объемов тел, рассматривая тела с различной геометрией поверхности.

1) ,

2)   .

РЕШЕНИЕ.

 1). Тело  ограничено двумя поверхностями: параболоидом   и плоскостью . Изобразим это тело на чертеже (рис.75).

Замечание. При построении следует преобразовать уравнение направляющей цилиндра , лежащей в плоскости  к каноническому виду (прибавляя и вычитая 2): , откуда получим , то есть направляющей цилиндра в плоскости  служит окружность с центром в точке  радиуса . Кроме того, при построении следует учесть, что поверхность параболоида пересекается с плоскостью  по окружности . Тело  является z-цилиндрическим брусом, проектирующимся на плоскость  в область (), являющуюся -трапецией.

Нетрудно убедиться, что и здесь, как и в предыдущем случае, повторный интеграл, записанный в декартовой системе координат, при вычислении требует значительных усилий; поэтому и в этом случае перейдем к цилиндрической системе координат (см. предыдущую задачу):

.

Найдем уравнения поверхностей, ограничивающих тело, в цилиндрической системе координат: уравнение цилиндра  перейдет в , уравнение параболоида  – в , плоскости  – в . Область (), являющаяся проекцией тела на плоскость , ограничена окружностью   и окружностью  (так как ). Найдем значения параметра , соответствующие точкам пересечения этих окружностей: , откуда  и для  получим два значения: . Учитывая симметрию тела  относительно плоскости , объем  запишем в виде следующего повторного интеграла:

Чтобы тройной интеграл записать в виде повторного, перейдем в уравнениях ограничивающих тело поверхностей к сферическим координатам. Следует использовать соотношения

.

Уравнение   переходит в , уравнение   в ; для уравнения конуса  получим последовательно: ,   и , откуда  и ; уравнение плоскости  переходит в уравнение , уравнение плоскости  в , т.е. в . Таким образом,

.

  Так как подынтегральная функция представляет собой произведение функций, каждая из которых зависит только от одной переменной, а пределы интегрирования постоянны, то повторный интеграл представляет собой просто произведение трех интегралов

Найти массу пластинки

():  ,

Плотность массы пластинки 

РЕШЕНИЕ.

 Область () – это часть эллиптического кольца (на рис.78 область () заштрихована). Массу плоской области можно вычислить по формуле

.

Подставляя заданную плотность  в двойной интеграл, для массы получим

.

Рис.78

 Очевидно, что область  () не является ни -, ни - трапецией; при вычислении двойного интеграла в декартовой системе координат область () пришлось бы разбить на три области. Как для областей, заключенных между концентрическими окружностями с центром в начале координат “родной” является полярная система координат, так и для эллиптических колец “своей “ является эллиптическая система координат (обобщенная полярная система координат)

Цилиндрический брус проектируется на плоскость  в криволинейную трапецию (D): 0 x 1, 0 y . Преобразуем тройной интеграл в повторный и вычислим его:

=

=[ замена переменных  ]=

Замечание. В цилиндрической системе координат вычисления упрощаются:

b26c2da8