Задачи на вычисление интегралов

Сервис для выполнения любых видов студенческих работ

Сервис для выполнения любых видов студенческих работ

 

Народная медицина

Соблазн возбуждающая  жвачка

Соблазн возбуждающая жвачка

 

Выполнение 
работ на заказ. Контрольные, курсовые и дипломные работы

Выполнение работ на заказ. Контрольные, курсовые и дипломные работы

Renoven - антиварикозный   бальзам

Renoven - антиварикозный бальзам

ШефМаркет. Доставка продуктов с рецептами

Уборка   квартир в Москве

Уборка квартир в Москве

Дизайнерская мебель

Заказ и доставка билетов

Заказ и доставка билетов

 Академия Моды и Стиля

Академия Моды и Стиля

 

Интернет-магазин Olympus

Интернет-магазин Olympus<

Начертательная геометрия
  • Cборочные единицы
  • Обозначение материалов
  • Построение лекальных кривых
  • Примеры построения сопряжений
  • Выполнение чертежей деталей
  • Машиностроительное черчение
  • Позиционные задачи
  • Способ замены плоскостей проекции
  • Теория и синтез машин и механизмов
    Черчение выполнение чертежей
    Основы технической механики
    Примеры решения задач по математике
    Тройные и двойные интегралы
    Примеры курсового расчета
    Математика лекции и примеры решения задач
    Линейная и векторная алгебра
    Математический анализ
    Дифференцирование исчисление
    Интегральное исчисление
    Дифференциальные уравнения
    Примеры вычисления интегралов
    Вычисление длин дуг кривых
    Вычисление площадей в декартовых
    координатах
    Вычисление площадей фигур при
    параметрическом задании границы (контура)
    Площадь в полярных координатах 
    Вычисление объема тела
    Вычисление длин дуг плоских кривых,
    заданных в декартовых координатах

    Вычисление длин дуг кривых,
    заданных параметрически 

    Предел функции
    Производная функции
    Интегрирование тригонометрических выражений
    Задачи на вычисление интегралов
    Исследовать функцию
    Определенный и неопределенный интеграл
    Применение тройных интегралов
    Криволинейный интеграл
    Векторная функция
    Числовые ряды
    Степенные ряды
    Понятие функции
    комплексной переменной
    Операционное исчисление
    Интеграл Фурье
    Ряды Фурье
    Машиностроительное черчение
    Черчение в инженерной практике
    Оформление чертежа
    Техническая механика
  • Штриховка разрезов
  • Спецификация
  • Неметаллические материалы
  • Техника вычерчивания и обводка
  • Построение лекальных кривых
  • Основная надпись
  • Сопряжение
  • Форматы
  • Последовательность нанесения
    размеров
  • Проецируещие прямые
  • Позиционные задачи
  • Вращение плоскости
  • Информатика
    Основы Web технологий
    Общие принципы построения вычислительных
    сетей
    Основы передачи дискретных данных
    Базовые технологии локальных сетей
    Построение локальных сетей по стандартам
    физического и канального уровней
    Сетевой уровень как средство построения
    больших сетей
    Глобальные сети
    Средства анализа и управления сетями
    Сборник задач по физике
    Электротехника и электроника
    Электрический ток
    Законы Ома и Кирхгофа
    Кинематика материальной точки
    Основные представления
    об электричестве
    Электромагнитные волны
    Физическая оптика
    Ядерная физика
    Физика элементарных частиц
    Строение атомных ядер
    Законы теплового излучения
    Классическая физика
    Энеpгия движения тел с неподвижной осью
    Постулаты теоpии относительности
    Теpмодинамические системы
    Курс лекций по химии
    Атомная энергетика
    Повышение безопасности атомной станции
    Ядерные реакторы
    Основы ядерной физики
    Использование атомной энергетики
    для решения проблем дефицита пресной воды
    Проектирование и строительство
    атомных энергоблоков
    Юбилей Атомной энергетики

    Атомная Энергетика России Аварии и инциденты Экология Кольская АЭС Ленинградская АЭС Билибинская АЭС Курская АЭС

    Ядерные реакторы технология
    Реаторы третьего поколения ВВЭР-1500

    Вычислить криволинейный интеграл

    по формуле Грина; замкнутый контур () складывается из двух кривых:  и  (см. рис. 80).

    ЗАДАНИЕ 12. Вычислить массу дуги кривой () при заданной плотности :

    1)  

    2) (.

    3) (.

    РЕШЕНИЕ.

    1) Рассматривается случай параметрического задания кривой (). Массу плоской кривой можно вычислить с помощью криволинейного интеграла первого рода: . Для вычисления его нужно свести к определенному интегралу от функции одной переменной по отрезку по формуле:

    .

    РЕШЕНИЕ.

    Работа силы по перемещению материальной точки единичной массы есть линейный интеграл вдоль дуги  от точки  до точки 

    .

    Последний интеграл есть криволинейный интеграл второго рода по пространственной кривой . Его вычисление сводится к вычислению определенного интеграла, для чего кривую  надо представить в параметрической форме (условием задачи кривая  задана в виде линии пересечения поверхности кругового цилиндра  с плоскостью , см. рис.81).

    Вычислить расходимость (дивергенцию) и вихрь (ротор) в произвольной точке , а также найти уравнения векторных линий поля градиентов скалярного поля .

    РЕШЕНИЕ.

    1. По заданному скалярному полю   построим поле его градиентов

    .

    Дивергенция (расходимость) векторного поля  в декартовой системе координат вычисляется по формуле

    Убедиться в потенциальности поля вектора

    ,

    найти потенциал  поля и вычислить работу этого поля при перемещении точки единичной массы от точки  до точки .

    РЕШЕНИЕ.

    Для поля , заданного в односвязной области, критерием потенциальности служит равенство нулю вихря этого поля. Вычислим:

    , т.е. поле потенциально. Восстановим потенциал поля. Это можно сделать по формуле

    f ¢(0)=. В понятии предела сама точка x0=0 не рассматривается, поэтому берем f(x)= . При вычислении пределов в задачах под номером 12 необходимо использование эквивалентных бесконечно малых при x0. Напоминаем их:

     x ~ sin x ~ arcsin x ~ tg x ~ arctg x ~ ln(1+x) ~ ex 1; loga(1+x) ~ x loga e = x / lna;

    ax 1 ~ x lna; (1+x)1 ~ xпри любом действительном ; 1 cos x ~ x2/2.

    В нашем случае x sin=0 произведение бесконечно малой на ограниченную поэтому arctg(x sin) ~ (x sin) и

      ~ arctg(x sin),

    так как y= arctg(x sin) – бесконечно малая приx0 и

      = 1 = (1+y)1 ~ (1/2)y.

    Применяя полученные результаты, вычисляем предел

    или по одной из аналогичных ей пяти формул, отражающих движение от точки   к точке  вдоль отрезков, параллельных осям координат, по той, которая упрощает вычисление интегралов. По приведенной выше формуле получим

    Другой подход к решению задачи  использование логарифмической производной. Приведём и такое решение: ln y = ln2cosx· ln(sin x3); дифференцируем обе части равенства по переменной x:

    ·y ¢=.

    Для нахождения y¢ умножим полученное равенство на y=.

    Ответ. y¢=.

    Составить уравнения касательной и нормали к кривой в данной точке, вычислить в этой точке y¢¢xx:

    РЕШЕНИЕ.

    Дифференцируем левую часть уравнения по переменной x, рассматривая её как сложную функцию x·e y(x)  y(x)·ex + x. Сложная функция тождественно равна нулю, а потому равна нулю и её производная:

    e y+ x·e y· y¢ y¢·ex  y·ex+1=0.

    Решаем это уравнение относительно производной y¢x: y¢x = . Для нахождения y¢¢xx дифференцируем полученное равенство, снова рассматривая его правую часть как сложную функцию от x

    Вычислить пределы с помощью правила Лопиталя:

    19) ; 20) (ln2cos x·ln sin x3).

    РЕШЕНИЯ.

    19) . Имеет место неопределённость (). Правило Лопиталя применяется для раскрытия неопределённостей (0/0) или (¥¥). Поэтому сначала логарифмированием сведём заданную неопределённость к одной из указанных двух:

    ==

    использована непрерывность функции экспонента: переставлены знаки функции и предела . Запишем выражение в скобках в виде дроби; получится неопределённость (0/0).

    Напоминаем формулировку правила Лопиталя: если существует предел конечный или бесконечный, то

    а) существует и предел ;

    б) эти два предела одинаковы естественно, функции f(x) и g(x) должны быть дифференцируемы в окрестности точки x0 всюду, кроме, возможно, самой точки x0 , точка x0 в понятии предела не рассматривается; производная функции g(x) не должна равняться нулю.

    ЗАДАНИЕ 21. Многочлен f(x)=3x4  22x3 + 60x2  73x + 39 по степеням x представить в виде многочлена по степеням (x  2).

    РЕШЕНИЕ.

    Известно, что для дифференцируемой 4 раза в точке x0 функции f(x) существует лишь один многочлен, приближающий её в окрестности этой точки с точностью до слагаемого о((x  x0)4)  это многочлен Тейлора обозначим его : f(x) = + о((x  x0)4). В случае, когда сама f(x) является многочленом 4-й степени, получим f(x) = , то есть о((x  x0)4) = 0. Поэтому коэффициенты искомого многочлена можно найти с помощью формулы Тейлора

    =

    = f(x0) + f ¢(x0)( x  x0) +( x  x0)2 +( x  x0)3 +( x  x0)4.

    В нашем случае x0=2. Вычисляем f(x0) и производные функции f(x) в точках x и x0:  f(2) = 5; f ¢( x) = 12 x3  66 x2 + 120 x 73, f ¢(2) = 1;

    f ¢¢( x) = 36x2  132x + 120, f ¢¢(2) = 0; f ¢¢¢( x) = 72x  132, f ¢¢¢(2) = 12;

    ( x) = 72, (2) = 72.

    Ответ. f(x)= 5  ( x  2) + 2( x  2)3 + 3( x  2)4.

    Исследовать поведение функции в окрестности точки с помощью формулы Тейлора: f(x)=  ln2x, x0 =1.

    РЕШЕНИЕ. Применяем формулу Тейлора см. задание 22.

    f(1) = 1; f ¢( x) = 2(x1)  2 lnx ×, f ¢(1) = 0;

    f ¢¢( x) = 2+ 4(x  1)2+(lnx1), f ¢¢(1) = 0;

    f ¢¢¢( x) = 12(x  1)+ 8(x  1)3(lnx1) + , f ¢¢¢(1) = 6.

    f(x)= 1 + ( x  1)3 +о((x1)3).

    Укажем ещё один путь к получению той же формулы: путь, использующий стандартные формулы Маклорена для основных элементарных функций. Выполним замену переменной: x  1= t. Тогда функция f(x) =  ln2x преобразуется в функцию g(t) =  ln2(1+t), а значению x = 1 будет соответствовать значение t = 0. Нам понадобятся формулы 

    = 1+ t + + o(t2) ; ln(1+t) = t  + o(t2).

    В первую из этих формул сделаем подстановку t2 вместо t, а вторую формулу возведём в квадрат:

    Найти асимптоты и построить эскизы графиков функций:

    а) y=ln+2; б) y=; в) y=.

    ОБЩИЕ ЗАМЕЧАНИЯ. Вспомним определение асимптоты при x®¥: это прямая y=kx+b, для которой (f(x)  (kx + b)) = 0. Числа k и b можно найти по формулам k =; b =(f(x)  kx). Асимптота горизонтальна k=0 тогда и только тогда, когда существует конечный предел f(x), это и будет число b. Аналогично определяется асимптота при x®¥. Прямая x = a называется вертикальной асимптотой , если f(x) является бесконечно большой при x® a, то есть если f(x) =¥, и односторонней вертикальной асимптотой, если f(x) =¥ или f(x) =¥.

    РЕШЕНИЯ.

    а) y=ln+2. Область определения функции: x¥,1)(3,+¥). Функция является элементарной составлена из основных элементарных функций с помощью конечного числа арифметических действий и подстановок одной функции в другую. Отсюда следует, что функция непрерывна в каждой точке области определения.

    Исследуем поведение функции при x®10 и при x®3+0  то есть в полуокрестностях граничных точек области определения: