Провести полное исследование поведения функции и построить её график

Начертательная геометрия
  • Cборочные единицы
  • Обозначение материалов
  • Построение лекальных кривых
  • Примеры построения сопряжений
  • Выполнение чертежей деталей
  • Машиностроительное черчение
  • Позиционные задачи
  • Способ замены плоскостей проекции
  • Теория и синтез машин и механизмов
    Черчение выполнение чертежей
    Основы технической механики
    Примеры решения задач по математике
    Тройные и двойные интегралы
    Примеры курсового расчета
    Математика лекции и примеры решения задач
    Линейная и векторная алгебра
    Математический анализ
    Дифференцирование исчисление
    Интегральное исчисление
    Дифференциальные уравнения
    Примеры вычисления интегралов
    Вычисление длин дуг кривых
    Вычисление площадей в декартовых
    координатах
    Вычисление площадей фигур при
    параметрическом задании границы (контура)
    Площадь в полярных координатах 
    Вычисление объема тела
    Вычисление длин дуг плоских кривых,
    заданных в декартовых координатах

    Вычисление длин дуг кривых,
    заданных параметрически 

    Предел функции
    Производная функции
    Интегрирование тригонометрических выражений
    Задачи на вычисление интегралов
    Исследовать функцию
    Определенный и неопределенный интеграл
    Применение тройных интегралов
    Криволинейный интеграл
    Векторная функция
    Числовые ряды
    Степенные ряды
    Понятие функции
    комплексной переменной
    Операционное исчисление
    Интеграл Фурье
    Ряды Фурье
    Машиностроительное черчение
    Черчение в инженерной практике
    Оформление чертежа
    Техническая механика
  • Штриховка разрезов
  • Спецификация
  • Неметаллические материалы
  • Техника вычерчивания и обводка
  • Построение лекальных кривых
  • Основная надпись
  • Сопряжение
  • Форматы
  • Последовательность нанесения
    размеров
  • Проецируещие прямые
  • Позиционные задачи
  • Вращение плоскости
  • Информатика
    Основы Web технологий
    Общие принципы построения вычислительных
    сетей
    Основы передачи дискретных данных
    Базовые технологии локальных сетей
    Построение локальных сетей по стандартам
    физического и канального уровней
    Сетевой уровень как средство построения
    больших сетей
    Глобальные сети
    Средства анализа и управления сетями
    Сборник задач по физике
    Электротехника и электроника
    Электрический ток
    Законы Ома и Кирхгофа
    Кинематика материальной точки
    Основные представления
    об электричестве
    Электромагнитные волны
    Физическая оптика
    Ядерная физика
    Физика элементарных частиц
    Строение атомных ядер
    Законы теплового излучения
    Классическая физика
    Энеpгия движения тел с неподвижной осью
    Постулаты теоpии относительности
    Теpмодинамические системы
    Курс лекций по химии
    Атомная энергетика
    Повышение безопасности атомной станции
    Ядерные реакторы
    Основы ядерной физики
    Использование атомной энергетики
    для решения проблем дефицита пресной воды
    Проектирование и строительство
    атомных энергоблоков
    Юбилей Атомной энергетики

    Атомная Энергетика России Аварии и инциденты Экология Кольская АЭС Ленинградская АЭС Билибинская АЭС Курская АЭС

    Ядерные реакторы технология
    Реаторы третьего поколения ВВЭР-1500

    а) y = ; б) y = (x 1); в) y =.

    ОБЩИЕ ЗАМЕЧАНИЯ. План полного исследования поведения функции может быть, например, таким:

    Область определения.

    Чётность , нечётность, периодичность.

    Непрерывность. Поведение в окрестности точек разрыва и у границ области определения. Вертикальные асимптоты.

    Асимптотическое поведение при x®¥. Наклонные или горизонтальные асимптоты.

    Интервалы монотонности, экстремумы.

    Интервалы выпуклости и вогнутости, точки перегиба графика.

    Точки пересечения с осями координат.

    б) y = (x 1). Область определения: x¥ ,1)  (1,+¥ ). Чётность, нечётность, периодичность отсутствуют. Функция непрерывна всюду, кроме точки x = 1. Для выяснения поведения функции в окрестности точки разрыва вычислим односторонние пределы: [an error occurred while processing this directive]

      = ¥= +¥ ;

    (x 1)= 2e- ¥ = 20 = 0,

    (x 1)= 2e+ ¥ = 2+) = ¥.

    Делаем вывод о наличии односторонней вертикальной асимптоты x = 1. Переходим к изучению поведения функции при x®¥.

    (x 1) = ¥e0 = &

    Алгебра матриц

    В этой главе, прежде всего, строится матричное исчисление. На множестве матриц, определяемых как таблицы вещественных чисел, вводятся операции (сложения, умножения, умножения на число, транспонирования и обращения) и изучаются свойства этих операций. Выясняется, что наряду со свойствами операций, наследуемыми матрицами у вещественных чисел, у них появляются и новые свойства, которыми вещественные числа не обладают. Например, умножение матриц оказывается некоммутативным.

    После этого обсуждается проблема разложения матрицы на простейшие. Оказывается, что любую матрицу единственным образом можно представить в виде суммы матриц, каждая из которых обладает только одним ненулевым элементом. Представление матрицы в виде произведения простейших является более сложным и нуждается в построении специального аппарата элементарных матриц, оправдывающего себя в последующих разделах курса.

    Принцип равенства

    Две действительные матрицы  и  называются равными (записывается ), если они имеют одинаковые размеры, т.е. числа строк и столбцов у этих матриц совпадают, и на одинаковых местах в этих матрицах стоят одинаковые элементы.

    Формализуем это определение: пусть

    .

    Тогда

      ,

    где  и  некоторые натуральные числа.

    Сложение матриц

    Операция сложения определена лишь для матриц одинакового размера. Именно, пусть ,

    Суммой матриц  и  называется матрица

      (1.2)

    О сложении матриц говорят также, что оно осуществляется поэлементно. Как уже отмечалось выше, в процессе изучения алгебры матриц мы будем пользоваться упрощенными обозначениями  и т.д., не указывая всякий раз множества возможных значений индексов  и , поскольку эти значения будут ясны из контекста. Например, следующее определение суммы матриц эквивалентно вышеприведенному определению.

    5) Операции сложения и транспонирования матриц связаны формулой

     

    1.5 Умножение матрицы на число

    Пусть матрица  имеет вид (1.1), . Произведением матрицы  на число  называется матрица

    Скалярное умножение арифметических векторов

    1.7 Умножение матриц

    1.6 Скалярное умножение арифметических векторов

    Пусть

     

    Умножение матриц

    Пусть . Для того чтобы, существовало произведение   необходимо выполнение условия согласования , т.е. число столбцов матрицы  должно совпадать с числом строк матрицы  (или порядок строк матрицы  должен совпадать с порядком столбцов матрицы ). Если условие согласования выполнено, т.е.

    тогда произведение  определено формулой

    ,

    т.е. если , тогда

    – элемент, стоящий в -ой строке и -ом столбце матрицы  равен скалярному произведению -ого столбца матрицы  (или транспонированной -ой строки матрицы ) на -ый столбец матрицы .

    Рассмотрим основные свойства умножения матриц.

    1) Если , тогда .

     ◄ Это свойство вытекает из определения произведения матриц. ►

    2) Умножение матриц, вообще говоря, некоммутативно, т.е. .

     ◄ Прежде всего заметим, что произведение  и  не всегда существуют одновременно, как это видно из примера 2. Если  и  существуют одновременно, т.е. , тогда , , т.е. при  матрицы  и  разного порядка и, следовательно, несравнимы. Но даже если  и, следовательно,  и  одного порядка, равенство , вообще говоря, не выполняется. Например,

    .  ►

    Реакция произведения матриц на операцию транспонирования выражается формулой

     (1.10)

      ◄ Пусть , тогда , , т.е. левая и правая части равенства (1.10) существуют и имеют одинаковые порядки. Далее

     

     

     . ►

    7) Рассмотрим множество квадратных матриц следующего вида:

    Теория делимости квадратных матриц

     1.9* Основные типы алгебраических структур

     1.10 Элементарные преобразования над матрицами

     и элементарные матрицы

    1.8 Теория делимости квадратных матриц

     Предложение 1.1. Если матрица  является истинным делителем нуля, тогда она необратима.

     ◄ Пусть матрица  и существует такая матрица , , что  или . Тогда матрица  не может быть обратимой. Действительно, если предположить существование такой матрицы , что

    ,

    тогда умножая обе части равенства  на матрицу  справа (или обе части равенства  на матрицу  слева), получаем, что

     

    и аналогично в случае . ►

     Справедливо и обратное утверждение.

    Предложение 1.2. Если матрица  отлична от нуль-матрицы и не является истинным делителем нуля, тогда она обратима.

    Доказательство этого утверждения будет приведено позже в «Лекции V».

    Основные типы алгебраических структур.

     Пусть  и  два произвольных непустых множества. Декартовым произведением  этих множеств называется множество всевозможных упорядоченных пар вида , где . При этом две пары  и , где , считаются равными, если . Если , тогда множество  называется декартовым квадратом множества .

     Пусть . Внутренним законом композиции на множестве   называется произвольное отображение декартова квадрата во множество . Внутренний закон композиции на множестве  каждой паре  элементов множества  ставит в соответствие определенный элемент множества , который принято обозначать в виде сочетания трёх символов: элементов  и некоторого знака их соединяющего и одновременно позволяющего отличать друг от друга различные законы композиции, например,

     

    ,

      и т.д.

     Простейшими примерами внутренних законов композиции на множестве  являются арифметические операции сложения, вычитания и умножения действительных чисел, которые паре действительных чисел  ставят в соответствие их сумму, разность и произведение,

    .

      Введенное выше поэлементное сложение матриц является внутренним законом композиции на множестве , а умножение матриц – внутренним законом композиции на множестве .

    ◄ Очевидно, что определенное выше поэлементное сложение матриц является внутренним законом композиции на множестве , а аксиомы абелевой группы являются следствием свойств 1) – 4) сложения матриц.  ►

     Если на множестве  определены два внутренних закона композиции, которые записываются как сложение и умножение и обладают свойствами:

      1) сложение определяет на  структуру абелевой группы;

     2) ;

     3)  для любых  из ,

    тогда говорят, что на множестве  задана структура кольца. Если при этом по умножению существует единица, это кольцо называется кольцом с единицей, а если операция умножения коммутативна, кольцо называется коммутативным.

    1.10 Элементарные преобразования над матрицами и элементарные матрицы

     Элементарные преобразования над матрицами бывают только трёх типов:

     1) перемена местами двух строк или столбцов; обозначения –   или  соответственно;

     2) умножение строки или столбца на число, отличное от нуля; обозначения –  или  соответственно, ;

     3) добавление к какой-либо строке или столбцу другой строки или столбца, умноженных на произвольное число ; обозначения –  или  соответственно (элементарное преобразование этого типа называется трансвекцией).

    Свойства элементарных преобразований.

      1) Одно элементарное преобразование первого типа эквивалентно четырем элементарным преобразованиям второго и третьего типов.

     ◄ Пусть в матрице  нужно поменять местами, например, строки  и . Следующая цепочка элементарных преобразований второго и третьего типов приводит к результату

    .  ►

     2) Элементарные преобразования обратимы, а обратные им преобразования являются элементарными преобразованиями того же самого типа, т.е. если матрица  получена из матрицы  с помощью элементарного преобразования, тогда матрица  может быть получена из матрицы  с помощью элементарного преобразования того же самого типа.

    Эквивалентные матрицы

    1.12* Отношение эквивалентности

    1.11 Эквивалентные матрицы

    Нашей ближайшей целью является доказательство того, что любая матрица с помощью элементарных преобразований может быть приведена к некоторым стандартным видам. На этом пути полезным является язык эквивалентных матриц.

    Пусть . Будем говорить, что матрица  л‑эквивалентна (п‑эквивалентна или эквивалентна) матрице  и обозначать  ( или ), если матрица  может быть получена из матрицы  с помощью конечного числа строчных (соответственно столбцовых или строчных и столбцовых) элементарных преобразований. Ясно, что л‑эквивалентные и п‑эквивалентные матрицы являются эквивалентными.

    Предложение 1.3 Для любой матрицы  существует л‑эквивалентная ей матрица приведённого вида.

     ◄ Во-первых, любую ненулевую строку матрицы , с помощью строчных элементарных преобразований можно сделать приведённой, т.е. если , тогда найдется конечное число строчных элементарных преобразований, применив которые к матрице , мы получим матрицу , строка которой  имеет приведённый вид.

      Действительно, если матрица  имеет вид (1.1) и , то после проведения в ней элементарных преобразований

      (1.20)

    получаем матрицу

    Пример 7. Построить матрицу  приведённого вида, л‑эквивалентную матрице

    .

      ◄ Начиная с первой строки, указывая на каждом шаге серию проводимых элементарных преобразований, получаем

    . ►

    Среди всех матриц размера  выделим множество диагональных матриц , где , у которых

    Матрицу  удобно записывать в так называемом блочном виде

    Отношение эквивалентности.

     Пусть  – непустое множество произвольной природы и   – его декартов квадрат. Бинарным отношением на множестве  называется произвольное непустое подмножество   в . бинарное отношение на множестве   можно определить указанием всех пар , принадлежащих , говоря при этом, что элементы  и  из множества  находятся в отношении . Поскольку это не всегда удобно (например, если множество  бесконечно), то высказывание “” заменяется специальными высказываниями, зависящими от контекста, например,

    .

    которые читаются соответственно как “ больше ”, “ равно ”, “ влечёт ”, “ эквивалентно

     Бинарное отношение  на множестве называется отношением эквивалентности на множестве , если оно удовлетворяет условиям:

     1)  для любого ,

     2) если , тогда ,

     3) если  и , тогда .

    Для отношения эквивалентности принято обозначение . Условия 1)‑3), называемые аксиомами отношения эквивалентности, в этом обозначении выглядят так:

    Разложение матрицы в произведение простейших

    1.14 Матричные уравнения

    1.13 Разложение матрицы в произведение простейших

      Пусть  – некоторые матрицы. Введём следующее обозначение, предполагая при этом, что произведение в правой части существует,

    .

    Предложение 1.5. Любую ненулевую матрицу из  можно представить в виде произведения

    ,  (1.22)

    где , – элементарные матрицы порядка , – элементарные матрицы порядка , и матрица  имеет вид (1.21).

      ◄ В силу предложения 1.4 существует конечное число строчных и столбцовых элементарных преобразований, приводящих матрицу   к виду . Так как проведение одного строчного элементарного преобразования в матрице  равносильно умножению этой матрицы слева на некоторую элементарную  матрицу порядка , а проведение в  одного столбцового элементарного преобразования равносильно умножению матрицы  справа на некоторую элементарную матрицу  порядка , получаем матричное равенство

    Предложение 1.6. (1-й критерий обратимости матрицы). Для того, чтобы матрица  была обратимой, необходимо и достаточно, чтобы она была представима в виде произведения элементарных матриц.

     ◄ Достаточность. Элементарные матрицы обратимы, а произведение обратимых матриц есть матрица обратимая. Поэтому утверждение “матрица, представимая в виде произведения элементарных матриц, обратима” очевидно.

     Необходимость. Пусть матрица  обратима. Покажем, что она представима в виде произведения элементарных матриц. Прежде всего заметим, что в силу предложения 1.5 справедливо равенство (1.22), где все матрицы, входящие в это равенство, квадратные и имеют одинаковый порядок, например, . Наше утверждение будет верно, если мы покажем, что . В самом деле, матрицы

    1.14 Матричные уравнения

     Уравнение, называется матричным, если в качестве неизвестного оно содержит матрицу. Простейшие матричные уравнения имеют вид

    , (1.24)

    ,  (1.25)

    , (1.26)

    где  – известные матрицы, а  – неизвестные матрицы соответствующих размеров. В общем случае уравнения (1.24)-(1.26) эквивалентны некоторым системам линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), но в том частном случае, когда матрицы   и  обратимы, теория этих уравнений проста. Прежде чем изложить её отметим, что числовая матрица  является решением уравнения (1.24), если при подстановке её в это уравнение вместо матрицы  мы получаем верное матричное равенство (и аналогично для уравнений (1.25) и (1.26)).

     Предложение 1.8. Пусть матрицы  и  обратимы, тогда уравнения (1.24)-(1.26) разрешимы при любых правых частях  соответственно, а их единственные решения определяются по формулам

    Упражнения

     1. Выяснить, какие из следующих матриц равны

    .

      2. Написать матрицу, транспонированную данным:

    .

      3. Если матрица  имеет вид

    ,

    то каков вид матрицы ?

     4. Матрицы  и  имеют вид:

    При вычислении сложных матричных выражений целесообразно продумать порядок действий, так как от этого зависит объём вычислений.

      Пример 10. Найти матрицу , если

    .

      ◄ Матрица  существует, так как порядки сомножителей согласованны

    ,

    и имеем порядок . Благодаря свойству ассоциативности операции умножения матриц последовательность её вычисления может быть различной, например,   или .

     Напомним, что при вычислении произведения двух матриц используется скалярное умножение двух арифметических векторов порядка . Будем называть это скалярное умножение «простым», если , и – «сложным», если  (сокращённо ПСУ и ССУ). Посчитаем количества ПСУ и ССУ, которые необходимо совершить, чтобы вычислить матрицу   указанными выше способами.

    Преимущество первого способа над вторым очевидно. Но есть ещё один порядок умножения, позволяющий сократить объём вычислений. Именно, .

     В самом деле,

    1)  – 3 ССУ

    2)  – 2 ССУ

    3)  – 8 ПСУ.

      Всего: 5 ССУ и 8 ПСУ.

     Анализ трёх рассмотренных способов вычисления матрицы  позволяет дать рекомендацию: при вычислении матричных произведений с числом сомножителей больше 2-х целесообразно начинать вычисление произведений с наименьшим числом столбцов у правого сомножителя, и заканчивать вычислением произведений с наибольшим числом столбцов у правого сомножителя. ►

    Часто сложное матричное выражение можно до его вычисления привести к более простому виду, используя свойства операций над матрицами.

     Пример 12. Найти матрицу

    ,

    если

      ◄ Заметив, что

    ,

    где

    ,

    получаем, что

    . ►

      9. Найти матрицу , если:

     а) ;

     б) .

     10. Найти матрицу , если:

     а) ;

     б) ;

     в) .

     11. Найти матрицу , если

    .

      12. Найти матрицу , если:

     а) ;

     б) .

     Введём обозначение для степени матрицы

    ,

    И заметим, что ввиду некоммутативности операции умножения матриц

    .

    Из условия согласования следует, что степень матрицы определена только для квадратных матриц, а степень произведения  определена для матриц прямоугольного вида. При этом число строк матрицы  должно совпадать с числом столбцов матрицы .

    При вычислении степеней матриц и матричных выражений следует попытаться среди малых степеней  найти максимально простую матрицу с тем, чтобы использовать её для упрощения вычисления матрицы .

    Пример 15. Разложить матрицу  в произведение простейших. Выяснить, является ли матрица  обратимой, и в случае её обратимости найти матрицу , если

    .

     ◄ Решение основано на предложении 1.6 (см. пример 9). Приводим элементарными преобразованиями матрицу  к виду ,

    .

      Матрица  обратима и удовлетворяет соотношению

    .

    Умножая полученное равенство справа на матрицу

    ,

      получаем, что

    .

    Теперь умножаем новое равенство на матрицу

     20. Матрицы из упражнения 19 разложить в произведение простейших.

     21. Выяснить, является ли матрица  обратимой, и в случае её обратимости найти матрицу . Матрица   имеет вид:

     а) , б) , в) .

    Замечание. В следующей главе, основываясь на данном методе обращения матриц, мы построим более эффективную вычислительную схему для нахождения обратной матрицы, связанную с методом Гаусса решения систем линейных алгебраических уравнений.

    Решение. Поделив каждое слагаемое числителя подынтегральной дроби на знаменатель, и используя, что интеграл от суммы функций равен сумме интегралов от этих функций, получим:

    .

    Первый интеграл является табличным: .

    Во втором интеграле воспользуемся тем, что .

    Получим следующую запись .

    Если представить, что arcsinx=t, то данный интеграл будет интегралом от степени , но явно переходить к переменной t нет необходимости.

    .