Определенный и неопределенный интеграл

Начертательная геометрия
  • Cборочные единицы
  • Обозначение материалов
  • Построение лекальных кривых
  • Примеры построения сопряжений
  • Выполнение чертежей деталей
  • Машиностроительное черчение
  • Позиционные задачи
  • Способ замены плоскостей проекции
  • Теория и синтез машин и механизмов
    Черчение выполнение чертежей
    Основы технической механики
    Примеры решения задач по математике
    Тройные и двойные интегралы
    Примеры курсового расчета
    Математика лекции и примеры решения задач
    Линейная и векторная алгебра
    Математический анализ
    Дифференцирование исчисление
    Интегральное исчисление
    Дифференциальные уравнения
    Примеры вычисления интегралов
    Вычисление длин дуг кривых
    Вычисление площадей в декартовых
    координатах
    Вычисление площадей фигур при
    параметрическом задании границы (контура)
    Площадь в полярных координатах 
    Вычисление объема тела
    Вычисление длин дуг плоских кривых,
    заданных в декартовых координатах

    Вычисление длин дуг кривых,
    заданных параметрически 

    Предел функции
    Производная функции
    Интегрирование тригонометрических выражений
    Задачи на вычисление интегралов
    Исследовать функцию
    Определенный и неопределенный интеграл
    Применение тройных интегралов
    Криволинейный интеграл
    Векторная функция
    Числовые ряды
    Степенные ряды
    Понятие функции
    комплексной переменной
    Операционное исчисление
    Интеграл Фурье
    Ряды Фурье
    Машиностроительное черчение
    Черчение в инженерной практике
    Оформление чертежа
    Техническая механика
  • Штриховка разрезов
  • Спецификация
  • Неметаллические материалы
  • Техника вычерчивания и обводка
  • Построение лекальных кривых
  • Основная надпись
  • Сопряжение
  • Форматы
  • Последовательность нанесения
    размеров
  • Проецируещие прямые
  • Позиционные задачи
  • Вращение плоскости
  • Информатика
    Основы Web технологий
    Общие принципы построения вычислительных
    сетей
    Основы передачи дискретных данных
    Базовые технологии локальных сетей
    Построение локальных сетей по стандартам
    физического и канального уровней
    Сетевой уровень как средство построения
    больших сетей
    Глобальные сети
    Средства анализа и управления сетями
    Сборник задач по физике
    Электротехника и электроника
    Электрический ток
    Законы Ома и Кирхгофа
    Кинематика материальной точки
    Основные представления
    об электричестве
    Электромагнитные волны
    Физическая оптика
    Ядерная физика
    Физика элементарных частиц
    Строение атомных ядер
    Законы теплового излучения
    Классическая физика
    Энеpгия движения тел с неподвижной осью
    Постулаты теоpии относительности
    Теpмодинамические системы
    Курс лекций по химии
    Атомная энергетика
    Повышение безопасности атомной станции
    Ядерные реакторы
    Основы ядерной физики
    Использование атомной энергетики
    для решения проблем дефицита пресной воды
    Проектирование и строительство
    атомных энергоблоков
    Юбилей Атомной энергетики

    Атомная Энергетика России Аварии и инциденты Экология Кольская АЭС Ленинградская АЭС Билибинская АЭС Курская АЭС

    Ядерные реакторы технология
    Реаторы третьего поколения ВВЭР-1500

     

    Пример 4. Найти интеграл .

    Решение. Отделим от нечетной степени один множитель: .

    Если положить , то . Перейдем в интеграле к новой переменной t:

    Возвратившись к прежней переменной, получаем: .

    Пример 5. Найти интеграл  .

    Решение. Понизим у  и  степень с помощью следующих формул: .

    Тогда в исходном интеграле получим следующее:

    .

    Так как дроби между собой равны, а также равны их знаменатели, то и числители также равны. Поэтому у многочленов, стоящих в числителе приравняем коэффициенты при х2,х1,х0 и получим систему трех уравнений с тремя неизвестными:

    .

    Решив эту систему получим следующие значения A, B и C: .

    Значит, наша дробь раскладывается на сумму дробей:

    .

    Подставляя это разложение в интеграл, получаем:

    Пример 8. Найти интеграл .

     Определенный интеграл

    1. Вычисление определенного интеграла

    Пример 9. Вычислить интеграл  .

    Решение. Для того, чтобы вычислить данный интеграл, воспользуемся основной тригонометрической заменой:

     

    Так как данный интеграл является определенным, то при замене переменной , меняются пределы интегрирования:

    .

    На отрезке  по переменной t функция непрерывно дифференцируема, монотонна и в границах его принимает значения границ отрезка  по переменной x. Следовательно, выбранная замена переменной правомерна. Получаем:

    .

    Несобственный интеграл.

    Пример 10. Вычислить несобственный интеграл  или доказать его расходимость.

    Решение. Перейдем от несобственного интеграла к определенному с границами .Далее считаем полученный интеграл, с помощью обычных правил интегрирования:

    Вычислить несобственный интеграл  или установить его расходимость.

    Площадь плоской криволинейной трапеции.

    Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:

    .

    Решение. Построим фигуру, площадь которой надо вычислить. Одной из линий является параболой с вершиной в точке С с координатами (3;4). Вторая линия - прямая.

    Найдем координаты точек пересечения данных линий:

    Вычисление длины дуги кривой.

    Вычислить длину дуги кривой: , между точками пересечения с осями координат.

    Решение. Данная кривая задана в параметрическом виде, то есть x и y зависят от параметра t. Поэтому, чтобы построить точку с координатами (x,y) нужно задать некоторое значение параметра и потом посчитать x и y .

    Построим график и найдем точки пересечения с осями координат:

    Длина дуги вычисляется по формуле .

    Для данной задачи .

    Подставляя все эти значения в формулу, получаем :

    Тройной интеграл в цилиндрических и сферических координатах

    Цилиндрические координаты точки в пространстве - это ее полярные координаты в XOY и координата Z.

    Связь между декартовыми и цилиндрическими координатами:

    Перевод тройного интеграла к цилиндрическим координатам и сведение к повторному трехкратному интегралу осуществляется следующим образом:

    Переход к сферическим координатам осуществляется функциями

    r - расстояние точки M от начала координат (длина радиус-вектора точки);

    - угол между радиус-вектором и положительным направлением оси OZ;

    - угол между положительным направлением оси OX и проекцией радиус-вектора на плоскость XOY, отсчитываемый против часовой стрелки (полярный угол).

    Границы изменения сферических координат для всех точек пространства:

    Связь сферических и декартовых координат:

    Далее тройной интеграл сводится к трехкратному в соответствии с неравенствами для области V в сферических координатах.

    Эффективно переводить в сферические координаты тройной интеграл по областям, в границах которых есть сфера.

    Пример 14

    Вычислить , где

    Решение

    Запишем неравенствами область V в сферических координатах: