Векторная функция скалярного аргумента

Начертательная геометрия
  • Cборочные единицы
  • Обозначение материалов
  • Построение лекальных кривых
  • Примеры построения сопряжений
  • Выполнение чертежей деталей
  • Машиностроительное черчение
  • Позиционные задачи
  • Способ замены плоскостей проекции
  • Теория и синтез машин и механизмов
    Черчение выполнение чертежей
    Основы технической механики
    Примеры решения задач по математике
    Тройные и двойные интегралы
    Примеры курсового расчета
    Математика лекции и примеры решения задач
    Линейная и векторная алгебра
    Математический анализ
    Дифференцирование исчисление
    Интегральное исчисление
    Дифференциальные уравнения
    Примеры вычисления интегралов
    Вычисление длин дуг кривых
    Вычисление площадей в декартовых
    координатах
    Вычисление площадей фигур при
    параметрическом задании границы (контура)
    Площадь в полярных координатах 
    Вычисление объема тела
    Вычисление длин дуг плоских кривых,
    заданных в декартовых координатах

    Вычисление длин дуг кривых,
    заданных параметрически 

    Предел функции
    Производная функции
    Интегрирование тригонометрических выражений
    Задачи на вычисление интегралов
    Исследовать функцию
    Определенный и неопределенный интеграл
    Применение тройных интегралов
    Криволинейный интеграл
    Векторная функция
    Числовые ряды
    Степенные ряды
    Понятие функции
    комплексной переменной
    Операционное исчисление
    Интеграл Фурье
    Ряды Фурье
    Машиностроительное черчение
    Черчение в инженерной практике
    Оформление чертежа
    Техническая механика
  • Штриховка разрезов
  • Спецификация
  • Неметаллические материалы
  • Техника вычерчивания и обводка
  • Построение лекальных кривых
  • Основная надпись
  • Сопряжение
  • Форматы
  • Последовательность нанесения
    размеров
  • Проецируещие прямые
  • Позиционные задачи
  • Вращение плоскости
  • Информатика
    Основы Web технологий
    Общие принципы построения вычислительных
    сетей
    Основы передачи дискретных данных
    Базовые технологии локальных сетей
    Построение локальных сетей по стандартам
    физического и канального уровней
    Сетевой уровень как средство построения
    больших сетей
    Глобальные сети
    Средства анализа и управления сетями
    Сборник задач по физике
    Электротехника и электроника
    Электрический ток
    Законы Ома и Кирхгофа
    Кинематика материальной точки
    Основные представления
    об электричестве
    Электромагнитные волны
    Физическая оптика
    Ядерная физика
    Физика элементарных частиц
    Строение атомных ядер
    Законы теплового излучения
    Классическая физика
    Энеpгия движения тел с неподвижной осью
    Постулаты теоpии относительности
    Теpмодинамические системы
    Курс лекций по химии
    Атомная энергетика
    Повышение безопасности атомной станции
    Ядерные реакторы
    Основы ядерной физики
    Использование атомной энергетики
    для решения проблем дефицита пресной воды
    Проектирование и строительство
    атомных энергоблоков
    Юбилей Атомной энергетики

    Атомная Энергетика России Аварии и инциденты Экология Кольская АЭС Ленинградская АЭС Билибинская АЭС Курская АЭС

    Ядерные реакторы технология
    Реаторы третьего поколения ВВЭР-1500

    Если каждому значению параметра t из некоторого промежутка  ставится в соответствие по некоторому правилу определенный вектор, то говорят, что задана вектор-функция скалярного аргумента t: .

    Откладывая векторы  при  от начала координат, получаем траекторию движения конца вектора, называемую годографом вектор-функции .

    Проекции вектора  на оси координат являются функциями аргумента t, поэтому можно записать вектор-функцию в координатной форме:

    ,

    где векторы  – это орты координатных осей Ox, Oy и Oz.

    Первую, вторую и т.д. производные вектор-функции  находят дифференцированием ее проекций x(t), y(t) и z(t) по аргументу t

    ,

    Векторное поле

    Поток векторного поля через поверхность

    Если в любой точке M(x, y, z) области VxOyz задан вектор , то говорят, что в области V задано векторное поле . [an error occurred while processing this directive]

    Примеры: силовое поле , поле скоростей  текущей жидкости, поле электростатических напряженностей .

    Векторное поле является заданным, если задана векторная функция   от координат точки M(x, y, z). Как правило, функцию задают в виде , где P (x, y, z), Q (x, y, z),  R (x, y, z) являются функциями, о которых предполагают, что они непрерывны и имеют непрерывные частные производные по x, y, z в области V (область V может совпадать со всем пространством). Аналогично определяют плоское векторное поле  в двумерной области D: .

    Формула Остроградского-Гаусса. Дивергенция

    Формула Остроградского-Гаусса устанавливает связь между интегралом по замкнутой поверхности σ в направлении ее «внешней» нормали и тройным интегралом по области V, ограниченной этой поверхностью:

    .

    Пусть  – векторное поле, заданное в области VxOyz . Дивергенцией векторного поля  называется скалярная функция

    , (17)

    Соленоидальное векторное поле

    Векторное поле  называется соленоидальным, если существует такое векторное поле , для которого поле является полем его роторов: .

    Поле  называется векторным потенциалом векторного поля .

    Практически соленоидальность векторного поля определяется при помощи его дивергенции: если во всех точках односвязной области V дивергенция векторного поля равна нулю, то это векторное поле является соленоидальным.

    Решение примерного варианта контрольной работы №1

    Задача 1. Дана функция z = cos2(2x – y). Требуется:

    1) найти частные производные  и ;

    2) найти полный дифференциал dz;

    3) показать, что для данной функции справедливо равенство: .

    Задача 2. Найти частные производные  и , если переменные x, y, и z связаны равенством 4x2 y ez – cos(x3 – z) + 2y2 + 3x = 0.

    Решение.

    Имеем равенство вида F(x, y, z) = 0, задающее неявно функцию 2-х переменных. Для вычисления частных производных можно использовать формулы (2) и (3).

    Для F(x, y, z) = 4x2yez – cos(x3 – z) + 2y2 + 3x получаем:

    F= (4x2yez – cos(x3 – z) + 2y2 + 3x) = [считаем y и z постоянными] =

    = 8xyez + sin(x3 – z)3x2 + 3 = 8xyez + 3x2sin( x3 – z) + 3;

    F= (4x2yez – cos(x3 – z) + 2y2 + 3x) = [считаем x и z постоянными] =

    = 4x2ez + 4y;

    F = (4x2yez – cos(x3 – z) + 2y2 + 3x) = [считаем x и y постоянными] =

    = 4x2yez – sin (x3 – z).

    По формулам (2) находим частные производные функции z = z(x, y):

    Задача 4. Дана функция двух переменных: z = x2 – xy + y2 – 4x + 2y + 5 и уравнения границ замкнутой области D на плоскости xОy: x = 0, y = –1,

    x + y = 3. Требуется:

    1) найти наибольшее и наименьшее значения функции z в области D;

    2) сделать чертеж области D в системе координат, указав на нем точки, в которых функция имеет наибольшее и наименьшее значения.

    Решение.

    Для наглядности процесса решения построим область D в системе координат. Область D представляет собой треугольник, ограниченный прямыми x = 0, y = –1 и x + y = 3. Обозначим вершины треугольника: A, B, C (рис 9).

    Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции z, сначала найдем все стационарные точки функции z = x2 – xy + y2 – 4x + 2y + 5, лежащие внутри области D (если они есть), и вычислим в них значения функции.

    Стационарные точки – это точки, в которых все частные производные

    Задача 5. Поверхность σ задана уравнением z =  + xy – 5x3. Составить уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности σ в точке М0(x0, y0, z0), принадлежащей ей, если x0 = –1, y0 = 2.

    Решение.

    Уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности σ получим, используя формулы (5) и (6). Найдем частные производные функции

    z = f (x, y) =  + xy – 5x3:

    (x, y) = ( + xy – 5x3) = –  + y – 15x2;

    (x, y) = ( + xy – 5x3) =  + x.

    Точка М0(x0, y0, z0) принадлежит поверхности σ, поэтому можно вычислить z0, подставив заданные x0 = –1 и y0 = 2 в уравнение поверхности:

    z =  + xy – 5x3  z0 =  + (–1) 2 – 5 (–1)3 = 1.

    Вычисляем значения частных производных в точке М0(–1, 2, 1):

    .

    Задача 6. Дано плоское скалярное поле U = x2 –2y, точка М0(1,–1) и вектор . Требуется:

    1) найти уравнения линий уровня поля;

    2) найти градиент поля в точке M0 и производную  в точке M0 по направлению вектора ;

    3) построить в системе координат xОy 4-5 линий уровня, в том числе линию уровня, проходящую через точку M0, изобразить вектор  на этом чертеже.

    Задача 7. Дана функция комплексной переменной , где z = x + iy, и точка z0 = – 1 + 3i. Требуется:

    представить функцию в виде w = u(x, y) +iv(x, y), выделив ее действительную и мнимую части;

    проверить, является ли функция w аналитической;

    в случае аналитичности функции w найти ее производную w′ в точке z0.

    Решение.

    1) Выделим действительную и мнимую части функции:

    .

    Решение примерного варианта контрольной работы №2

    Задача 1. Используя двойной интеграл, вычислить статический момент относительно оси Ox тонкой однородной пластинки, имеющей форму области D, ограниченной заданными линиями: . Построить чертеж области интегрирования.

    Указание. Считать плотность вещества .

    Решение.

     Область D (рис. 11) представляет собой криволинейный треугольник MNK, где . Для определения координат точки М решаем систему уравнений:

    Задача 2. Используя тройной интеграл в цилиндрической системе координат, вычислить массу кругового цилиндра, нижнее основание которого лежит в плоскости xOy, а ось симметрии совпадает с осью Oz, если заданы радиус основания R = 0,5, высота цилиндра H = 2 и функция плотности , где r – полярный радиус точки.

    Решение.

      Массу кругового цилиндра можно вычислить, используя тройной интеграл по области V, по формуле (12):

    ,

    где – функция плотности, а V – область, соответствующая цилиндру.

    Переходя к трехкратному интегралу в цилиндрических координатах, получаем:

    Для вычисления работы используем криволинейный интеграл II рода (формула (13)): .

    Составленный криволинейный интеграл сводим к определенному интегралу, используя параметрические уравнения кривой ВС:

    .

    Для заданной кривой получаем:

    Таким образом, для нахождения работы нужно вычислить определенный интеграл:

      Сделаем замену переменной в определенном интеграле:

    Задача 4. Задан радиус-вектор движущейся точки:

     . Найти векторы скорости и ускорения движения этой точки через 2 минуты после начала движения.

    Решение.

    Вектор-функция задана в виде: .

    Найдем первые и вторые производные ее проекций x(t), y(t) z(t) по аргументу t:

    Найдем векторы скорости и ускорения движения точки по формулам (14) и (15):

    .

    Через 2 минуты после начала движения векторы скорости и ускорения будут:

    Задача 6. Проверить, является ли векторное поле силы  потенциальным или соленоидальным. В случае потенциальности поля найти его потенциал и вычислить с помощью потенциала работу силы  при перемещении единичной массы из точки M(0,1,0) в точку N(–1,2,3).

    Решение.

    Для проверки потенциальности векторного поля  найдем его ротор по формуле (19):

    Следовательно, поле потенциально.

     Для проверки соленоидальности поля найдем его дивергенцию по формуле (17):

    .

    Следовательно, поле не соленоидально.