Если каждому значению параметра t из некоторого промежутка
ставится в соответствие по некоторому правилу определенный вектор, то говорят, что задана вектор-функция скалярного аргумента t:
.
Откладывая векторы
при
от начала координат, получаем траекторию движения конца вектора, называемую годографом вектор-функции
Проекции вектора
,
где векторы
– это орты координатных осей Ox, Oy и Oz.
Первую, вторую и т.д. производные вектор-функции
находят дифференцированием ее проекций x(t), y(t) и z(t) по аргументу t
,
Векторное поле
Поток векторного поля через поверхность
Если в любой точке M(x, y, z) области V
xOyz задан вектор
, то говорят, что в области V задано векторное поле
. [an error occurred while processing this directive]
Примеры: силовое поле
, поле скоростей
текущей жидкости, поле электростатических напряженностей
.
Векторное поле является заданным, если задана векторная функция
, где P (x, y, z), Q (x, y, z), R (x, y, z) являются функциями, о которых предполагают, что они непрерывны и имеют непрерывные частные производные по x, y, z в области V (область V может совпадать со всем пространством). Аналогично определяют плоское векторное поле
.
Формула Остроградского-Гаусса. Дивергенция
Формула Остроградского-Гаусса устанавливает связь между интегралом по замкнутой поверхности σ в направлении ее «внешней» нормали и тройным интегралом по области V, ограниченной этой поверхностью:
.
Пусть
– векторное поле, заданное в области V
называется скалярная функция
, (17)
Векторное поле
, для которого поле
.
Поле
Практически соленоидальность векторного поля определяется при помощи его дивергенции: если во всех точках односвязной области V дивергенция векторного поля
Решение примерного варианта контрольной работы №1
Задача 1. Дана функция z = cos2(2x – y). Требуется:
1) найти частные производные
и
;
2) найти полный дифференциал dz;
3) показать, что для данной функции справедливо равенство:
.
Задача 2. Найти частные производные
,
и
, если переменные x, y, и z связаны равенством 4x2 y ez – cos(x3 – z) + 2y2 + 3x = 0.
Решение.
Имеем равенство вида F(x, y, z) = 0, задающее неявно функцию 2-х переменных. Для вычисления частных производных можно использовать формулы (2) и (3).
Для F(x, y, z) = 4x2yez – cos(x3 – z) + 2y2 + 3x получаем:
F
= (4x2yez – cos(x3 – z) + 2y2 + 3x)
= 8xyez + sin(x3 – z)3x2 + 3 = 8xyez + 3x2sin( x3 – z) + 3;
F
= (4x2yez – cos(x3 – z) + 2y2 + 3x)
= 4x2ez + 4y;
F
= (4x2yez – cos(x3 – z) + 2y2 + 3x)
= 4x2yez – sin (x3 – z).
По формулам (2) находим частные производные функции z = z(x, y):
Задача 4. Дана функция двух переменных: z = x2 – xy + y2 – 4x + 2y + 5 и уравнения границ замкнутой области D на плоскости xОy: x = 0, y = –1,
x + y = 3. Требуется:
1) найти наибольшее и наименьшее значения функции z в области D;
2) сделать чертеж области D в системе координат, указав на нем точки, в которых функция имеет наибольшее и наименьшее значения.
Решение.
Для наглядности процесса решения построим область D в системе координат. Область D представляет собой треугольник, ограниченный прямыми x = 0, y = –1 и x + y = 3. Обозначим вершины треугольника: A, B, C (рис 9).
Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции z, сначала найдем все стационарные точки функции z = x2 – xy + y2 – 4x + 2y + 5, лежащие внутри области D (если они есть), и вычислим в них значения функции.
Стационарные точки – это точки, в которых все частные производные
Задача 5. Поверхность σ задана уравнением z =
+ xy – 5x3. Составить уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности σ в точке М0(x0, y0, z0), принадлежащей ей, если x0 = –1, y0 = 2.
Решение.
Уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности σ получим, используя формулы (5) и (6). Найдем частные производные функции
z = f (x, y) =
(x, y) = (
+ y – 15x2;
(x, y) = (
+ x.
Точка М0(x0, y0, z0) принадлежит поверхности σ, поэтому можно вычислить z0, подставив заданные x0 = –1 и y0 = 2 в уравнение поверхности:
z =
z0 =
+ (–1) 2 – 5 (–1)3 = 1.
Вычисляем значения частных производных в точке М0(–1, 2, 1):
.
Задача 6. Дано плоское скалярное поле U = x2 –2y, точка М0(1,–1) и вектор
. Требуется:
1) найти уравнения линий уровня поля;
2) найти градиент поля в точке M0 и производную
в точке M0 по направлению вектора
;
3) построить в системе координат xОy 4-5 линий уровня, в том числе линию уровня, проходящую через точку M0, изобразить вектор
на этом чертеже.
Задача 7. Дана функция комплексной переменной
, где z = x + iy, и точка z0 = – 1 + 3i. Требуется:
представить функцию в виде w = u(x, y) +iv(x, y), выделив ее действительную и мнимую части;
проверить, является ли функция w аналитической;
в случае аналитичности функции w найти ее производную w′ в точке z0.
Решение.
1) Выделим действительную и мнимую части функции:
.
Решение примерного варианта контрольной работы №2
Задача 1. Используя двойной интеграл, вычислить статический момент относительно оси Ox тонкой однородной пластинки, имеющей форму области D, ограниченной заданными линиями:
. Построить чертеж области интегрирования.
Указание. Считать плотность вещества
.
Решение.
Область D (рис. 11) представляет собой криволинейный треугольник MNK, где
. Для определения координат точки М решаем систему уравнений:
Задача 2. Используя тройной интеграл в цилиндрической системе координат, вычислить массу кругового цилиндра, нижнее основание которого лежит в плоскости xOy, а ось симметрии совпадает с осью Oz, если заданы радиус основания R = 0,5, высота цилиндра H = 2 и функция плотности
, где r – полярный радиус точки.
Решение.
Массу кругового цилиндра можно вычислить, используя тройной интеграл по области V, по формуле (12):
,
где
– функция плотности, а V – область, соответствующая цилиндру.
Переходя к трехкратному интегралу в цилиндрических координатах, получаем:
Для вычисления работы используем криволинейный интеграл II рода (формула (13)):
.
Составленный криволинейный интеграл сводим к определенному интегралу, используя параметрические уравнения кривой ВС:
.
Для заданной кривой получаем:
Таким образом, для нахождения работы нужно вычислить определенный интеграл:
Сделаем замену переменной в определенном интеграле:
Задача 4. Задан радиус-вектор движущейся точки:
. Найти векторы скорости и ускорения движения этой точки через 2 минуты после начала движения.
Решение.
Вектор-функция задана в виде:
.
Найдем первые и вторые производные ее проекций x(t), y(t) z(t) по аргументу t:
Найдем векторы скорости и ускорения движения точки по формулам (14) и (15):
.
Через 2 минуты после начала движения векторы скорости и ускорения будут:
Задача 6. Проверить, является ли векторное поле силы
потенциальным или соленоидальным. В случае потенциальности поля найти его потенциал и вычислить с помощью потенциала работу силы
при перемещении единичной массы из точки M(0,1,0) в точку N(–1,2,3).
Решение.
Для проверки потенциальности векторного поля
найдем его ротор по формуле (19):
Следовательно, поле потенциально.
Для проверки соленоидальности поля найдем его дивергенцию по формуле (17):
.
Следовательно, поле не соленоидально.
| |