Если
каждому значению параметра t из некоторого промежутка
ставится в
соответствие по некоторому правилу определенный вектор, то говорят, что задана
вектор-функция скалярного аргумента t:
.
Откладывая векторы
при
от начала координат, получаем траекторию движения конца
вектора, называемую годографом вектор-функции
.
Проекции вектора
на оси координат являются функциями аргумента t, поэтому
можно записать вектор-функцию в координатной форме:
,
где
векторы
– это орты координатных осей Ox, Oy и Oz.
Первую,
вторую и т.д. производные вектор-функции
находят дифференцированием ее проекций
x(t), y(t) и z(t) по аргументу t
,
Векторное
поле
Поток векторного поля через поверхность
Если
в любой точке M(x, y, z) области V
xOyz задан вектор
, то говорят, что в области V задано
векторное поле
. [an error occurred while processing this directive]
Примеры:
силовое поле
, поле скоростей
текущей жидкости, поле электростатических напряженностей
.
Векторное поле является
заданным, если задана векторная функция
от координат точки M(x, y, z). Как правило, функцию
задают в виде
, где P (x, y, z), Q (x, y, z),
R (x, y, z) являются функциями, о которых предполагают, что они
непрерывны и имеют непрерывные частные производные по x, y, z в области
V (область V может совпадать со всем пространством). Аналогично определяют плоское
векторное поле
в двумерной области D:
.
Формула Остроградского-Гаусса.
Дивергенция
Формула Остроградского-Гаусса устанавливает связь между
интегралом по замкнутой поверхности σ в направлении ее «внешней» нормали
и тройным интегралом по области V, ограниченной этой поверхностью:

.
Пусть
– векторное поле, заданное в области V
xOyz . Дивергенцией векторного поля
называется скалярная функция
, (17)
Соленоидальное
векторное поле
Векторное поле
называется соленоидальным, если существует такое векторное
поле
, для которого поле
является полем его роторов:
.
Поле
называется векторным потенциалом векторного поля
.
Практически
соленоидальность векторного поля определяется при помощи его дивергенции: если
во всех точках односвязной области V дивергенция векторного поля
равна
нулю, то это векторное поле является соленоидальным.
Решение примерного
варианта контрольной работы №1
Задача 1. Дана функция z = cos2(2x – y).
Требуется:
1) найти частные производные
и
;
2) найти полный дифференциал dz;
3) показать,
что для данной функции справедливо равенство:
.
Задача 2. Найти частные производные
,
и
, если переменные x, y, и z связаны равенством 4x2 y ez
– cos(x3 – z) + 2y2 + 3x = 0.
Решение.
Имеем равенство вида F(x,
y, z) = 0, задающее неявно функцию 2-х переменных. Для
вычисления частных производных можно использовать формулы (2) и (3).
Для
F(x, y, z) = 4x2yez – cos(x3 – z) + 2y2 + 3x получаем:
F
=
(4x2yez – cos(x3 – z) + 2y2 + 3x)
= [считаем y и z постоянными] =
= 8xyez + sin(x3
– z)3x2 + 3 = 8xyez + 3x2sin( x3 – z) + 3;
F
=
(4x2yez – cos(x3 – z) + 2y2 + 3x)
= [считаем x и z постоянными] =
= 4x2ez + 4y;
F
= (4x2yez – cos(x3 – z) + 2y2 + 3x)
= [считаем x и y постоянными] =
= 4x2yez – sin
(x3 – z).
По формулам (2) находим частные производные функции z = z(x, y):
Задача
4. Дана функция двух переменных: z = x2 – xy + y2 –
4x + 2y + 5 и уравнения границ замкнутой области D на плоскости xОy: x = 0, y
= –1,
x + y = 3. Требуется:
1) найти наибольшее и наименьшее значения
функции z в области D;
2) сделать чертеж области D в системе координат,
указав на нем точки, в которых функция имеет наибольшее и наименьшее значения.
Решение.
Для наглядности процесса решения построим область D в
системе координат. Область D представляет собой треугольник, ограниченный прямыми
x = 0, y = –1 и x + y = 3. Обозначим вершины треугольника: A, B, C (рис 9).
Чтобы
найти наибольшее и наименьшее значения функции z, сначала найдем все стационарные
точки функции z = x2 – xy + y2 – 4x + 2y + 5, лежащие внутри области D (если они
есть), и вычислим в них значения функции.
Стационарные точки – это точки,
в которых все частные производные
Задача 5. Поверхность σ задана уравнением
z =
+ xy – 5x3. Составить уравнения касательной
плоскости и нормали к поверхности σ в точке М0(x0, y0, z0), принадлежащей
ей, если x0 = –1, y0 = 2.
Решение.
Уравнения
касательной плоскости и нормали к поверхности σ получим, используя формулы
(5) и (6). Найдем частные производные функции
z = f (x, y)
=
+ xy – 5x3:
(x,
y) = (
+ xy – 5x3)
= –
+ y – 15x2;
(x,
y) = (
+ xy – 5x3)
=
+ x.
Точка М0(x0, y0, z0)
принадлежит поверхности σ, поэтому можно вычислить z0, подставив заданные
x0 = –1 и y0 = 2 в уравнение поверхности:
z =
+ xy – 5x3
z0 =
+ (–1) 2 – 5 (–1)3 = 1.
Вычисляем значения частных
производных в точке М0(–1, 2, 1):
.
Задача
6. Дано плоское скалярное поле U = x2 –2y, точка М0(1,–1) и вектор
.
Требуется:
1) найти уравнения линий уровня поля;
2) найти
градиент поля в точке M0 и производную
в точке M0 по направлению вектора
;
3) построить в системе
координат xОy 4-5 линий уровня, в том числе линию уровня, проходящую через точку
M0, изобразить вектор
на этом чертеже.
Задача 7. Дана функция
комплексной переменной
, где z = x + iy, и точка z0 = – 1
+ 3i. Требуется:
представить функцию в виде w = u(x, y) +iv(x, y),
выделив ее действительную и мнимую части;
проверить,
является ли функция w аналитической;
в случае аналитичности функции
w найти ее производную w′ в точке z0.
Решение.
1) Выделим
действительную и мнимую части функции:



.
Решение примерного варианта
контрольной работы №2
Задача 1. Используя двойной интеграл, вычислить
статический момент относительно оси Ox тонкой однородной пластинки, имеющей форму
области D, ограниченной заданными линиями:
. Построить чертеж области интегрирования.
Указание.
Считать плотность вещества
.
Решение.
Область D (рис. 11)
представляет собой криволинейный треугольник MNK, где
. Для определения координат точки М решаем систему уравнений:

Задача 2. Используя тройной
интеграл в цилиндрической системе координат, вычислить массу кругового цилиндра,
нижнее основание которого лежит в плоскости xOy, а ось
симметрии совпадает с осью Oz, если заданы радиус основания R = 0,5, высота
цилиндра H = 2 и функция плотности
, где r – полярный радиус точки.
Решение.
Массу кругового цилиндра можно вычислить, используя тройной интеграл по области
V, по формуле (12):
,
где
– функция плотности, а V – область, соответствующая цилиндру.
Переходя
к трехкратному интегралу в цилиндрических координатах, получаем:
Для вычисления
работы используем криволинейный интеграл II рода (формула (13)):
.
Составленный криволинейный интеграл
сводим к определенному интегралу, используя параметрические уравнения кривой ВС:
.
Для заданной кривой получаем:

Таким
образом, для нахождения работы нужно вычислить определенный интеграл:

Сделаем замену переменной в определенном интеграле:
Задача 4. Задан радиус-вектор
движущейся точки:
. Найти
векторы скорости и ускорения движения этой точки через
2 минуты после начала движения.
Решение.
Вектор-функция задана
в виде:
.
Найдем первые и вторые производные ее проекций
x(t), y(t) z(t) по аргументу t:

Найдем
векторы скорости и ускорения движения точки по формулам (14) и (15):

.
Через
2 минуты после начала движения векторы скорости и ускорения будут:
Задача
6. Проверить, является ли векторное поле силы
потенциальным или соленоидальным.
В случае потенциальности поля найти его потенциал и вычислить с помощью потенциала
работу силы
при перемещении единичной массы из точки M(0,1,0) в точку
N(–1,2,3).
Решение.
Для проверки потенциальности векторного поля
найдем его ротор по формуле (19):

Следовательно,
поле потенциально.
Для проверки соленоидальности поля найдем его дивергенцию
по формуле (17):
.
Следовательно,
поле не соленоидально.